在证明某数是否为质数时，最基本的问题就是：确定某数是否为质数的唯一方法，就是找出其因数.长久以来，人们一直想找出表示质数的公式，但都徒劳无功.下面介绍一些前人努力的结果.
(1)考虑下列的质数序列及其差分：
只要继续生成质数，此序列就能持续下去.
差分的形式显示出此序列可以下列二次式导出：
n2+n+11
(2)以不同的n代入，求下列二次式的值：
n2+n+41
并检验得出的值是质数还是合数(除1与其本身之外还有其他因数).
这是一个相当了不起的公式，因为从1至80，除了7个数之外，其他由它所生成的数都是质数.请问使n2+n+41不为质数的第一个n值是多少?
(3)更好的公式为：
n2-79n+1601
因为它对于所有小于或等于80的整数都能生成质数.
(4)使下式不为质数的最小n值是多少?
2n2+29
(5)1640年，数学家费玛(Fermat)以为自己发现了可以生成质数的公式：
22n+1
试求当n=0，1，2，3，4时，由此公式所得出的数.有些数为质数.
之后经过了一百多年，才由数学家欧拉证明：225+1有两个因数：641与6700417.