杂题之染色问题的解题思路

染色问题的解题思路

染色问题是数奥解题中的难点，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，下面就染色问题的解题思路说一下。

图一

首先，拿到一道题先认真观察，看这个题的突破点。什么是染色问题的突破点呢？那就是找染色区域中的一个最多，这个最多是指一个区域，其他区域与它连接 的最多。例如图一中A区域A与B、C、D、E、 F连接最广所以A为特殊区域。找到这个区域问题就容易解决了。这个区域可以任意添色就是染最多的颜色。本题中有4种颜色那么A可以染4种颜色了。完成这个 事件需要A、B、C、D、E、F6步所以用乘法原理。这道题找到了最特殊的A区域第二特殊区域和第三区域的确定也就容易了，C区域是与A相连，连接区域的 数量仅次于A区域图一中的C和E区域都可以做第二个特殊区域了，但只能选一个，我们把C当成第二特殊的区域，则C可以染3种颜色。区域B跟A、C相连那么 B可以染2种。D与A、C、E相连则只能选1种，对吗？我们仔细观察，按顺序说A----4，C------3，B-------2，D则连接A、C当A 选色后C有3种可能，D在A、C选色后只有2种可能。E连接A、D也有两种可能。F也是连接着A、E有两种可能。这道题就解出来了。有 4×3×2×2×2=96种可能。这道题跟以下一道题有异曲同工之效，大家不妨一起看下图二。

图二

图中A与B、C相连有4种染色方式，为第一特殊区域。而B是与A相连的第二特殊区域（切记，此时选第二特殊区域，乃是跟第一特殊区域相连的一个区 域）B有3种可能，C连接A、B则有2种可能，D连接B、C则有2种可能，同理E也有2种可能。所以此题有4×3×2×2×2=96种可能的染色。再来看 一个稍微复杂点的问题如图三

图三

图中A有5种染色方式C------ 4，B-----3，D-----3，E------3，F------3，G------3。这道题首先应当注意染色的顺序，先选第一特殊区域，再看跟 A相连的区域中的第二特殊区域。还有一道更复杂的题，

图四

有5种颜色，图中个区域染不同的颜色，问有几种染色方式。还依照前面的思路过程解，首先看哪个区域是图中与其他区域相连最多的当成第一特殊区域，A 为这个区域，其次为B，C和D为对称的哪个为第三特殊区域都可以，我们把D看成第三特殊区域，最后为C、E、F。分好各个区域就开始解题，A有5种颜色可 以用，B则有4种，D有3种，C则有2种，F就复杂了，它的颜色受制于E、C，则E跟C相同的有2种颜色可以选（因为C有2种颜色选择），跟C不同的有4 种颜色选择（因为A、D的颜色确定了，E有5-2=3种，则E与C的搭配有2×3=6种颜色可以选择，E不考虑与C相同则有6-2=4种颜色可以选 择），。所以E和C的颜色确定了，最后考虑F，若E和C同色，则F有5-2=3种颜色可以选择，若E和C异色则F有5-3=2种颜色选择。那么当E和C同 色时F有2×3=6种可以选择，当E和C异色是则F有4×2=8种可以选择，那么这道题就出来了染色的方式有 5×4×3×2×3+5×4×3×4×2=840种方式。下面再简略的看一道此类问题，如图四，4种颜色相邻的区域染不同的颜色，有几种不同的染色方式。 还按照以前的思索方式，首先选第一特殊区域，则A为所选，A有4种染色方式，其次，C为第二特殊区域，我们可以按

图五

A、C、B、E、D的方式解。则C有3种染色方式。则B有2种染色方式，E跟B对称则E跟B相同则有2种染色方式，E和B不同则有则有2种染色方式。 则E的染色方式为2×2=4。则D的染色依靠B、E，那么B、E同色B、E有2种方式，不同色B、E有4-2=2种方式，D的染色依靠B、E的染色，若 B、E同色则D有4-2=2种染色方式，若B、E不同则D有4-3=1种方式，那么在B、E同色时D染色方式有2×2=4，在B、E异色时D有 2×1=2种，则依据上面的思路我们可以求出此题的解4×3×2×2+4×3×2×1=48+24=72种方式。

总之，染色问题也有路可循，分清了问题中的第一特殊区域，以及依次的各个区域问题就迎刃而解了。其中最关键的部分是找特殊区域，不要找错了，如例四若让B 当第二特殊区域就不会得到正确答案了。