已知定由若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数．试问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少?请证明你的结论．
解答：先将a+b+c化为3(a+2b)的形式，说明a+b+c是3的倍数，然后利用整除的性质对a、b被3整除后的余数加以讨论得出a+2b也为3的倍数．
∵ =a+b+2a+5b=3(a+2b)，
显然，3│a+b+c
若设a、b被3整除后的余数分别为ra、rb，则ra0， rb 0．
若rarb，则ra=2，rb=1或ra=1，rb=2，则2a+5b =2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3)，或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)；3(2P+59+4)，即2a+5b为合数与已知c为质数矛盾．
只有ra=rb，则ra=rb=1或ra=rb=2．
于是a+2b必是3的倍数，从而a+b+c是9的倍数．
又2a+5b=211十55=47时，=
a+b+c=11+5+47=63，
2a+5b =213十57=61时，
a+b+c =13+7+61=81，
而(63，81)=9，故9为最大可能值．
【小结】由余数切入进行讨论，是解决整除问题的重要方法．