格点与面积习题讲解九

格点与面积习题讲解九

图14－4是画在木板上的方格网，在网的接点上都钉上小铁钉，然后用三根橡皮筋拉成如图的三个图形，试分别求出它们的面积.

答案详解见下页

格点与面积习题讲解九详解

图14－4的方格网中的三个图形，一个像一顶帽子.一个像一个小人骑着马.一个像一只鹅.每个图形都有些复杂，使我们不好下手.

但只要想到化归的思想，问题就迎刃而解了.事实上，我们已经会求任意放置的长方形、三角形、平行四边形、梯形的面积.通过观察可以发现帽、马、鹅都不 外乎是由这几种图形组合而成的，因此可用虚线把它们分割成这几种图形.比如，帽可分划成一个梯形、一个长方形和一个平行四边形，它们的面积分别为3、4、 2，故帽的面积为3+4+2=9；同样，马和鹅的面积分别为7和8.

因为事物在一定条件下才能相互转化，为了实现这种转化，我们还要创造条件；这是关键.在分析本问题的过程中，我们用了"分割"的手段创造条件，其实也可用"补"、"扩展"等手段创造条件，实现转化.

由上分析可知，用"割补"或"扩展"虽可求格点网中格点多边形的面积，但当多边形较复杂时，求起来较琐碎、复杂而不易进行.我们知道，格点个数比较易 求，那么格点多边形所含的格点数与其面积有没有内在的联系呢？（如果找到了这种联系，就可以通过计算格点数去求它的面积了.）

统计一下上面做过的几道题目，我们总是用n、m和S分别表示格点多边形内部、边上的格点数和面积.见下表.

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