2013陈省身杯必考点：计数问题模块

计数原理一般有两种类型，一个是几何计数，另一个是加乘原理。几何计数通常考察的是学生的图形思考方法和解题技巧，使学生容易因为疏忽或思考方法不当而造成错误。而加乘原理属于较难题目，在锻炼学生分类讨论思想的同时，还要求学生灵活掌握所学模型，对难题进行转换。

在陈杯考试中出现过的计数原理题目有：

（09年，第5题）数一数，下图中有几个不同的正方形？

（11年，第5题）图中有几个三角形？

（08年，第16题）从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取三个组成三位数，可以组成多少个不同的三位数？

（11年，第14题）五张卡片上分别写有1、1、2、3、4用它们可以组成多少个不同的三位数？

（12年，第20题）唐老鸭、米老鼠和5个福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮站在一起，如果唐老鸭和米老鼠不能相邻，那么一共有多少种不同的站法？

一、几何计数问题，陈杯中多考察三角形的个数

针对这类问题，就要记住解题模型，然后再考虑转化难题。

如果有这样的图形，含有几个三角形？

解决这样的问题，可以采用标号法，在相应线段上标号之后，就有5+4+3+2+1=15个三角形。掌握了这种方法，我们再看一道题。

【例1】下图中有几个三角形？

同样我们采用标号法，那么就有（5+4+3+2+1）+（5+4+3+2+1）=30个三角形。

熟悉这类模型可以帮助我们快速解题。同时遇到复杂的问题也可以向学过的模型靠拢。

【例2】下图中有几个三角形？

同样可以采用标号法，不过需要稍加变化。这时有15+15+5=35个三角形。

除此之外，我们还要熟练掌握拆线法。

【例3】下图中有几个三角形？（2011年陈杯）

拆掉红线之后，有8个三角形。加上红线新形成了7个三角形。这样一共有15个三角形。

二、加乘原理问题

针对加乘原理的题目，就应该掌握分类讨论的思想。找到合适的分类原则，全面有序的进行分析。

【例4】从1到100的所有自然数中，不含4的自然数有多少个？

我们需要进行分类处理。分为一位数，两位数和三位数。

一位数不含4：有8种；

两位数不含4：先讨论十位上不含4有8种，个位上不含4有9种（包括0），这样就有8*9=72种；

三位数不含4：就一个数100；

这样就有81个数。

【例5】由数字1,2,3（不可重复使用）可以组成多少个没有重复的数字？

同样需要分类讨论。分为一位数，两位数和三位数。

一位数有3个；两位数有6个；三位数有6个；这样一共有15个数字。

【例6】五张卡片上分别写有1、1、2、3、4，用它们可以组成多少个不同的四位数？（2011年陈杯）

如果不取1没法构成4位数；如果取一个1，那么共有24；如果取两个1，那么我们先排列这两个1，固定一个1，找另外一个1的位置，有3种方法，而剩下的两个位置找两个数来填，有6个，这样一共有3*6=18种。那么一共有42个不同的四位数。

下面介绍一种新的方法，插空法。

没有1不能构成4位数；有一个1，我们要取其他三个数，这时会形成4个空位，把1填进这4个空位，有4*6=24；有两个1，我们取其他两个数，这时形成3个空位，把两个1填进这3个空位，有3*6=18。这样共有42个四位数。