独家解析华杯试题：排列组合

排列组合问题在实际生活中的应用范围比较广，曾经作为高中的知识点，后来慢慢引入到初中课本，因此为了更好的与中学教材衔接，并且增强学生在实际生活中对数学的应用能力，排列组合问题在近三年的"华杯赛"试题中出现了7道之多，所占比例达到10.1%，特别是在第十二届的试题中就占到了4题。虽然对于排列组合问题我们有基本的加法和乘法公式，但是分析这7道题的解题方法，却多为分组列举和进行归纳，用到公式的情况极少。

真题分析

【第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛】按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0~55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5。那么，可供每支球队选择的号码共有（C）个。

（A）34（B）35

（C）40（D）56

分析：可以看出，试题的导向是要求学生将一件事情学会分情况讨论，逐段分析。

虽然上面一个题目比较简单，但是此类题的过程其实往往较长，粗心的学生容易遗漏某些可能性。

那么在处理此类问题的时候，我们通常遵循一下思路来逐步分析：

1、列举出满足题意的所有情况

2、对于每种情况判断是否还有子情况

3、当不能再细分的时候，我们利用加法原理或乘法原理将每一种最细的情况中的数目算出

4、写出所有情况的数量后，相加求出总和。

真题训练

1、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干个正方形,则正方形最少是( )个.

（A）8（B）7（C）5（D）6

2、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】将1分、2分、5分和1角的硬币投入19个盒子中，使每个盒子里都有硬币，且任何两个盒子里的硬币的钱数都不相同。问：至少需要投入多少硬币？这时，所有的盒子里的硬币的总钱数至少是多少？

3、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】若干支球队分成4组，每组至少两队，各组进行循环赛（组内每两队都要比赛一场），共比赛了66场。问：共有多少支球队？（写出所有可能的参赛队数）

4、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】

从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，则所有这样的乘积的总和是

5、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】如图所示，已知APBCD是以直线l为对称轴的图形，且∠APD＝116°，∠DPC＝40°，DC＞AB，那么，以A、P、B、C和D五个点为顶点的所有三角形中有个钝角三角形，有个锐角三角形.

真题答案：

1、【B】

这些分割的正方形不需要相同，可以有大有小，如果要至少，只要让一长方形尽可能大的分割。

1833÷423＝4….141

423÷141＝3

4+3＝7

2、【41（枚）、194（分）】

解：只取一枚有1分、2分、5分、10分（1角）4种；

取二枚有1＋1＝2（分），2＋2＝4（分），5＋5＝10（分），10＋10＝20（分）（2角），

1＋2＝3（分），1＋5＝6（分），1＋10＝11（分）（1角1分），

2＋5＝7（分），2＋10＝12（分）（1角2分），5＋10＝15（分）（1角5分），

共10种，其中重复2种（2分、10分），加上只取一枚的共12种不同币值；

取三枚时，可将以上取两枚的10种情况，分别加1分、2分、5分、10分，共有40种情况。从小到大取出7种不重复的币值为：8分、9分、13分、14分、16分、17分、21分，加上上述12种共19种。

公用硬币的枚数为：1×4＋2×8＋3×7＝41（枚）

总钱数为：1＋2＋3＋…＋17＋20＋21＝194（分）

3、【共有21、22、23、24、25五种情况】

解：列出一个组内参赛队数与比赛场数之间的关系，如下表：

因为，55加上3个表中所列的场数不能得到66，所以11个队的组不可能存在；

最多为10个队的组：45＋10＋10＋1＝66，45＋15＋3＋3＝66，有两种情况；

最多为9个队的组：36＋28＋1＋1＝66，36＋21＋6＋3，36＋10＋10＋10＝66，有三种情况；

最多为8个队的组不可能存在；

最多为7个队的组：21＋21＋21＋3＝66，21＋15＋15＋15＝66有两种情况；

最多为6个或6个以下队的组不可能存在。

以上可能的情况，总队数分别为：

10＋5＋5＋2＝22，10＋6＋3＋3＝22；

9＋8＋2＋2＝21，9＋7＋4＋3＝23，9＋5＋5＋5＝24；

7＋7＋7＋3＝24，7＋6＋6＋6＝25

即可能的球队数共有21、22、23、24、25五种情况。

4、【7.56】

解：设总和为S，则

＝0.9×（2.4＋4.8＋0.4＋0.8）

＝0.9×8.4＝7.56

5、【6个钝角三角形，4个锐角三角形】

解：＝10，以A、P、B、C、D五个点可以形成10个三角形，这10个三角形的内角中，

∠APD＝∠BPC＝116°＞90°，∠APC＝∠BPD＝116°＋40＝156＞90°

∵DC＞AB，故∠ADC与∠BCD为锐角，∠BAD与∠ABC为钝角，

∠APB＝360°－116°×2－40°＝88°＜90°，

其余均为锐角。

故有6个钝角三角形，4个锐角三角形.