独家解析华杯试题：规律问题

找规律问题往往能够考察一个学生的观察能力以及思维的灵活性，在第十四届的"华杯赛"试题中出现了三道循环的问题，其中有两道题基本一样。

真题分析

【第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛中】Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：Ａ→C，Ｂ→Ｅ，Ｃ→Ａ，Ｄ→Ｂ，Ｅ→Ｄ，开始时Ａ、Ｂ拿着福娃，Ｃ、Ｄ、Ｅ拿着福牛，传递完５轮时，拿着福娃的小朋友是（A）。

（A）Ｃ与Ｄ（B）A与D

（C）C与E（D）A与B

分析：由于这种题型往往是文字叙述题，所以学生在读题的时候往往会感觉比较晕，甚至有时候在分析的时候会弄混淆。其实这类题我们的处理方法往往如下：

1、在读题的时候画出步骤的流程图

2、观察流程图，找到循环规律

3、用总数对循环数做除法求出余数，将多次循环的问题转化为只进行一次试验的问题

4、如果是方格表中对于三角形、四边形的计数问题，我们往往写出前面几个图形所对应需要求出的数字，然后观察前面几个数的特征，利用等差数列、等比数列、斐波那契数列等等的性质得出最后结论。

真题训练

1、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】A，B，C，D，E，F六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→F，B→D，C→E，D→B，E→A，F→C。开始时，A，B，C，D，E，F拿着各自的玩具，传递完2002轮时，有个小朋友又拿到了自己的玩具。

2、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】将七位数"2468135"重复写287次组成一个2009位数"24681352468135…"。删去这个数中所有位于奇数位(从左往右数)上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是（ ）。

3、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】下图的圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1，2，3，…，2999，3000。首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，…，直到1号棋子被取走为止。问：此时，（1）圆周上还有多少枚棋子?（2）在圆周上剩下的棋子中，从编号最小一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是多少？

4、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点．在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是l和3的直角三角形共有个。

5、【第12届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了个三角形.去掉的所有三角形的边长之和是（ ）。

6、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】下图中的三角形都是等边三角形，红色三角形的边长是24.7，蓝色三角形的边长是26。问：绿色三角形的边长是多少？

真题答案：

1、【 2 】

解：我们先画出示意图.

观察发现:B,D两个小朋友每经过2轮;玩具又回到自己手里,A,C,E,F四个小朋友需经过4轮,玩具才能回到各自手里.即B,D的玩具回到自己手里的周期是2轮,A,C,E,F的玩具回到自己手里的周期是4轮.所以:

2002÷2=1001是满周期,即B,D两位小朋友经过2002轮后,玩具回到自己手里了.

2002÷4=500……2不是满周期,即A,C,E,F四位小朋友经过2002轮后,玩具不

在自己手里

2、【 4 】

(操作题)

通过实验归纳,留下的最后一个数是2的幂次方数，210最靠近2009，即第210=1024个数

码剩下，1024÷7=146(周期)……2，所以余数2对应的这个数为4.

3、【 407 】

解：第一圈刚好把能被3整除的取走，即第一圈最后取走编号为3000的，共取走1000枚，剩下2000枚，此时1号仍为第一个。再从这2000枚棋子中隔2隔取走1个，第二圈最后取走的是2000枚中的第1998枚，共取走666枚，第1999、2000枚没有取走。再取就是第1号了，取走第1号时1000＋666＋1＝1667枚棋子，还剩下1333枚棋子。

将第一圈取走的用绿色表示，将第二圈取走的用红色数字表示：

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，……

可见，每18个一循环，18个数去掉10个，剩下8个。拿走1后，剩下的最小编号是2，从2数第181枚，就是从1数第182枚。182÷8＝22余6，22×18＝396。

将366以后的数排列出来，并根据上述分析标上颜色：

397，398，399，400，401，402，403，404，405，406，407，408，409，……

可见，剩下的第6个数是407，即取走1号棋子后，从剩下的最小号数，第181枚棋子的编号是407。

4、【 64 】

分类计数方法:横向32个,纵向32个,

共有64个边长为1和3的直角三角形.

5、【40个、12316】

解：第一次去掉1个三角形，得到3个小三角形，去掉的三角形的边长为3×12；

第二次去掉3个三角形，得到9个小三角形，去掉的三角形的边长为3×3×14；

第三次去掉9个三角形，得到27个小三角形，去掉的三角形的边长为9×3×18；

第四次去掉27个三角形，去掉的三角形的边长为27×3×116；

所以，四次共去掉1＋3＋9＋27＝40（个）小三角形，

去掉的所有三角形的边长之和是：3×12＋9×14＋27×18＋81×116＝12316

6、【 15.6 】

解：

图中共有15个小三角形，为说明方便，我们给出了编号。这些小三角形中，边长相等的有5对，分别是4和5，7和8，9和10，11和12，14和15（分别填充了相同的颜色）。将6的左边延长（图中用细红线标出），可以看出13与14的边长之差等于1与2的边长之差，为26－24.7＝1.3。

设14、15的边长为a，用表示各三角形边长，则＝＝a，＝a＋1.3，＝2a＋1.3，＝＝3a＋1.3，＝3a＋2.6，＝4a＋1.3，＝4a＋3.9＝5a＋1.3，

∴a＝2.6，＝9.1

从而＝24.7－9.1＝15.6