独家解析华杯试题：计算和数论

一、直接计算

直接进行计算作为每一年杯赛的必考题，这是不仅是考察学生对重要公式的理解掌握，还要求学生在做题时具备细心的品质。经归纳，我们可以发现计算题的类型以及考点主要集中在以下三个方面：

1、分式的四则运算

2、小数化分数

3、完全平方公式

真题分析

【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】

下面有四个算式：

解：

分析：在一个题目中，同时考到了分数的四则运算以及小数化分数

因此对于学生应当掌握以下几点：

1、小数、循环小数化分数的基本公式

2、分数的化简、约分

3、分数的加法法则、乘法法则

4、假分数和带分数的互换

二、速算、巧算和估算

速算、巧算与估算的内容往往很多、分类较细，而且通常含有大量的公式、法则和运算技巧。特别是和数论相结合后，题目的难度就会大大上升。这一块分作为必考的重点部分，常常在一套试卷中会出现两题左右。

经剖析试题后，我们发现这一部分的知识重点主要集中考察等比数列、等差数列求和公式

真题分析

【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】

在68个连续的奇数l，3，5，…，135中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？

解：因为要求K最大，那么当然前面的越小越好，

也就是说，1，3，5，7...这些最小的数字都要用到，

也就是说1+3+5+7+...+（2K-1）=1949

即K+2K(K-1)/2=1949(等差数列的求和公式)

即K的平方=1949

因为452=2025，2025-1949=76

删除最少的数使它们的和为76就可以了

显然是2个（1和75，3和73。。。。）

所以K最大为43

分析：该试题用到了等差数列的求和公式，然后再根据数的运算结果特征进行分析和排除。因此我们在处理这一类问题的时候可以遵循以下几个基本步骤：

1、通过分离常数等方法，将题目给出的一列数变成我们所需要的等比或等差数列

2、利用数列求和公式将和的形式写出

3、通过数字的运算结果特征和性质对答案进行猜想、假设、计算检验和排除

三、质数、质因数分解

有关质数、分解质因数这一类知识点对学生的计算和分析能力也有很高的要求。学生需十分熟悉判断质数、分解质因数的方法，通过数的两两互质将数分类等等都在近年试题中频频出现，特别是在第十四届的试题中，有三道题都是对质数部分的考察，占了全部试题的12.5%。

真题分析

【13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛】

将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成 3 组

解：14＝2×7，20＝2×2×5，33＝3×11，117＝3×3×13，143＝11×13，175＝5×5×7含有因数2的2个，含有因数3的2个，含有因数5的2个，含有因数7的2个，含有因数11 的2个，含有因数13的2个。

14放到A组→20放到B组→175不能放到A，只能放到C组

33、117、143也同样推理分别放到ABC组

分析：通过观察上面这个题，我们可以得到解决这类问题的一些方法技巧：

1、将题目中所给的数字分解质因数。（此类题目分解出的质因数常常有7、11、13）

2、如果要求所得数互质，那么必须把相同的质因数放在一起相乘。然后利用排列组合的方法算出分类的种数。

真题训练

1、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛】

2、【第12届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】

算式等于（ ）

A. 3B. 2C. 1D. 0

3、【第12届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】

将×0.63的积写成小数形式是

4、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】

计算：(105×95＋103×97)－(107×93+lOl×99)=

5、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】

设， 其中a、b、c、d都是非零自然数，

则a+b+c+d＝

6、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】

1+2+3+…+n（n＞2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是 。

7、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛】

8、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛】

林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆，将被子斟满并搅拌均匀，第二次，林林又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的 (用分数表示)

解题小贴士：

1、在解决平均数问题的时候，我们可以设未知数，列方程。将多个方程进行系数的变换，进行加减消元，得到我们所需要的含有未知数的的等式。

2、在平均数的循环题型中，我们可以将所有方程相加，得到所有未知数的和的倍数，然后求出所有未知数的和。再与所列的方程相比较，便可以分别求出各个未知数。

3、分数比较大小时，我们常用的方法有以下几种：

A、通分：

通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小

通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大

B、比倒数：倒数大的分数小

C、与1相减比较法：

D、经典结论：＜

E、化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起

F、两数相处进行比较

9、【14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】

方格中的图形符号"◇"，"○"，""，"☆"代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数。如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为 。

10、【第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛】

从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：4、6、和，则原来给定的4个整数的和为（ ）。

小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少，请你来回答这个问题。

12、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛】

对于大于零的分数，有如下4个结论：

1.两个真分数的和是真分数；

2.两个真分数的积是真分数；

3.一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；

4.一个真分数与一个假分数的积是一个假分数。

其中正确结论的编号是（）

13、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】

14、【第12届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】

如图，某公园有两段路，AB＝175米，BC＝125米，在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯（ ）个。

15、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】

六个分数的和在哪两个连续自然数之间？

16、【第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛】

在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有（ ）个。

17、【第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛】

在19，197，2009这三个数中，质数的个数是（ ）。

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

18、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】

某班学生要栽一批树苗。若每个人分配k棵树苗，则剩下20棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵。那么k=

19、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】

已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=1001×28×11，那么A+B+C的最小值为 。

真题答案：

1、答案：2

3×6024＝3×6×1004＝3×6×4016÷4＝9/2×4016，分子分母对应都是2倍

2、答案：B

原式＝＝＝2

3、答案：

×0.63＝5 ×0.63＝＝＝

4、答案：16

(105×95＋103×97)－(107×93+lOl×99)

=（100+5）×（100-5）+（100+3）×（100-3）-

（100+7）×（100-7）-（100+1）×（100-1）

=1002-52+1002-32-1002+72-1002+12

=16

5、答案：19

∴a+b+c+d＝2+3+5+9＝19

6、答案：37

假定百位以上为a,则该数为a03,乘以2后变成b06(b=2a)

而两个1+2+3+...+n=n(n+1)/2,因此有n(n+1)=b06

两个相邻数相乘末位是6的只有7*8和2*3.

首先看7*8:

假定n的十位是c，则有c7*c8=b06，而c7*c8的十位是由8c+5+7c=15c+5的个位得来的。

显然，要使其个位为0，只需要让c为奇数即可。再来看百位，由于b=2a，因此b的个位（即n(n+1)的百位）

必定是偶数。c7*c8的百位为：c^2加上15c+5除以10后的商。由于c是奇数，c^2也是奇数，因此必须保证15c+5除以10的商为奇数。显然c最小取3可以达到要求（15*3+5=50)。此时有37*38=1406，n=37

再来看2*3:

假定n的十位是c，则有c2*c3=b06，而c2*c3的十位是由2c+3c=5c的个位得来的。

显然，要使其个位为0，只需要让c为偶数即可。c2*c3的百位为：c^2加上5c除以10后的商。由于c是偶数，c^2也是偶数，因此必须保证5c除以10的商为偶数。显然c最小取4可以达到要求（5*4=20)。此时有42*43=1806,n=42

所以最小的n值就是37。

7、答案：9

原式＝10－(1/2＋1/4＋1/8＋……＋1/1024)＝10－1023/1024＝9又1/1024

（1/2+1/4=3/4，3/4+1/8=7/8，7/8+1/16=15/16，……递推往后相加1/2＋1/4＋1/8＋……＋1/1024＝1023/1024）

8、答案：65/81

先求剩下的（1－1/3）×（1－1/3）×（1－1/3）×（1－1/3）=16/81

喝了1－16/81＝65/81

9、答案：33

方格中的图形符号"◇","○","","☆"代表填入方格中的数,相同的符号

表示相同的数.如图所示,若第一列,第三列,第二行,第四行的四个数的和分别为36,50,41,37,则第三行的四个数的和为33.(方程解法)

3◇+○=36

2+2○=50

3○+☆=41

3◇+=37

解得=13,○=12,◇=8,☆=5

则第三行的四个数的和为33。

10、答案：10

设四个数分别为a、b、c、d，则得到的4个数分别是

（a+b+c)÷3+d=4

（a+b+d)÷3+c=6

（a+c+d)÷3+b=16/3

（b+c+d)÷3+a=14/3

整理一下，得

a+b+c+3d=12

a+b+d+3c=18

a+c+d+3b=16

b+c+d+3a=14

四式相加，得

6（a+b+c+d）=60

a+b+c+d=10

答：原来给定的4个整数的和是10

11、答案：2900

会计＋出纳=3000

出纳＋秘书=3200

秘书＋主管=4000

主管＋主任=5200

主任＋会计=4400

五个式子相加后除以2可得：

会计＋出纳＋秘书＋主管＋主任=9900

再减去第一个和第三个式子，可得主任月薪为：

9900-3000-4000=2900元

12、答案：2、3

①1/2+1/2=1;④2/5×3/2＝3/5

13、答案：D

这道题很简单，即分数比较大小，可以先比较ab的大小，它们有共同部分，只看不同部分，而且"对于小于1的分数，当分子和分母的差一样的情况下，分母越大，分数越大"，记住这个性质非常容易解决。

14、答案：11

175与125的最大公约数为25，所以取25米为两灯间距，175＝25×7，125＝25×5，AB段应按7盏灯，BC段应按5盏灯，但在B点不需重复按灯，故共需安装7+5－1＝11（盏）

15、

16、答案：22个

N=57n+n=58n>2009，其中n<57,

n>34

故34<n<57

n可能取到的值有57-34-1=22个

17、答案：C

19是常见的质数，197容易检验知也是质数，本题主要是考察2009这个数是否是质数。实际上，2009=7×41，是个合数，所以在19，197，2009这三个数中有2个质数。正确答案为C

18、答案：8

设有n个人，则可列方程9n-3=kn+20

移项：(9-k)n=23

注意到23是个质数，而n，k都要是整数，且n不等于1（不止一个学生），所以n=23，9-k=1，所以k=8

19、答案：222

A×B×C=11011×28=4×7×7×11×11×13

因为两两互质，三个数的乘积一定,当三个数靠近时甚至相等时,三个数的和最小

所以A=4×13,B=7×7,C=11×11(A，B，C的值可交换）

所以A+B+C的最小值为52+49+121=222