数论之整数拆分练习9
一、只有1
一道简单的问题是：用1、＋、×、（）的运算来分别表示23和27，哪个数用的1较少？要表达2008，最少要用多少个1？
我们先给出从1到15的表达式。
1=1,
2=1+1,
3=1+1+1,
4=(1+1)×(1+1)，
5=(1+1)×(1+1)+1,
6=(1+1)×(1+1+1),
7=(1+1)×(1+1+1)+1,
8=(1+1)×(1+1)×(1+1),
9=(1+1+1)×(1+1+1),
10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),
11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,
12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),
13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,
14= (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),
15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。
把用1的个数写成数列，就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。
对于23，
23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1，
1的个数为11。
对于27，
27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)
1的个数为9。
对于2008这样的大数，要寻找表达式很困难。
我找到的表达式是
(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008
一共用了24个1，但是不是用了最少的1，证明起来有一定难度。