计数之归纳法练习三
解答题
2.用数学归纳法证明:自然数m,n对任何的3≤m≤n均有差数列.
3.求证:当n为正奇数时7n+1能被8整除.自然数n,f(n)>n.
a3,a4,并推测出{an}的通项公式,用数学归纳法加以证明.
求a2,a3,a4,并推测an的表达式,用数学归纳法证明所得结论.
答案详解见下页
答案：
成立.时,多了一个顶点,该顶点与原k边形中的(k-2)个顶点可连成(k-2)条对角线,而原来的一条边也变成对角线,故(k+1)边形比k边形增多了(k-1)条对角线
说明 本题也可用排列组合的方法证明
4(a1-a2)(a2-a3)=(a1-a3)2
即 (a1+a3-2a2)2=0 ∴a1+a3=2a2 ∴命题成立;
②假设n=k(k≥3)时命题成立,即对于任何
a1,a2,…,an成等差数列
则当n=k+1时,由归纳假设a1,a2,…,ak成等差数列,设公差为d
令 ak+1-ak=m
去分母化简得 m2+d2-2dm=0
于是m=d 即ak+1-ak=d
∴a1,a2,a3,…,ak,ak+1成等差数列
故对任何n∈N命题成立.
3.(1)n=1时,71+1=8能被8整除;
(2)假设n=k(k为正奇数)时7k+1能被8整除(设7k+1=8M,M∈N)
则当n=k+1时
7k+2+1=72·7k+72-72+1=72(7k+1)-48
=49×8m-8×6=8(49M-6)
∵49M-6∈N ∴命题成立.
4.(1)当n=2时,
(2)假设n=k(k≥2)不等式成立
因此 f(k+1)> f(k)+1> k+1.
(2)假设n=k时,不等式成立
∴ n=k+1时不等式亦成立
由(1),(2)可知对一切n∈N不等式都成立.
证明(1)当n=1时,等式成立。