平行线定义
在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。
平行线一定要在同一平面内定义，不适用于立体几何，比如异面直线，不相交，也不平行。
欧氏几何中平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
3.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
以上性质可简单说成：
1.两条直线平行，同旁内角互补。
2.两条直线平行，内错角相等。
3.两条直线平行，同位角相等。
三角形中：
平行线分三角形对应边成比例。
平行线的判定
1.平行线的定义。(在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。)
2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
4.内错角相等，两直线平行。
5.同位角相等，两直线平行。
6.同旁内角互补，两直线平行。
7.经过直线外一点，能且只能画一条直线与已知直线平行。
8.两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
平行公理
在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线互相平行。
在同一平面内，垂直于一条直线的两直线互相平行。
平行公理的推论：(平行线的传递性)，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即平行于同一条直线的两条直线平行。简称：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
平行线定义的拓展
在高等数学中的平行线的定义是相交于无限远的两条直线为平行线，因为理论上是没有绝对的平行的。
在欧氏几何中，在两条平行线中做一条直线AB，以直线AB为半径以逆时针方向做圆，然后以直线AB为半径以顺时针方向再做一个圆，从两个圆的交点做垂线CD垂直于直线AB，若CD与AB的角的角度是90度，则说明两条平行线不会相交。
但欧几里得不敢思考当两条平行线无限长时的情况.....
于是包括罗素、黎曼在内的科学家假设当两条平行线无限长时，他们会在无穷远处相交。(例如：在地球的球面上，就会发现，相互垂直于赤道的经线会相交于北极点和南极点。)后来，非欧几何和黎曼空间就诞生了，该成果给了爱因斯坦很大的启发。
平行线公理就是区分欧氏几何与非欧几何的一个重要区别。