2013华杯赛备考“每周一练”第十八期试题

试题一：

有若干个非零自然数，它们的平均数为11.如果去掉一个最大的自然数，那么它们的平均数为10;如果去掉一个最小的自然数，那么它们的平均数为12.请问：这些自然数最多有多少个?此时其中最大的自然数是多少?

解析：设共有n个数，则n个数的总和为11n。

去掉最大的自然数，剩下数的总和为10(n-1);

去掉最小的自然数，剩下数的总和为12(n-1)。

于是有最小的自然数为11n-12(n-1)=12-n，而非零自然数最小为1，所以n最大为11，此时最大的自然数为11n-10(n-1)=n+10=11+10=21。

即这些自然数最多有11个，此时其中最大的自然数为21。

试题二：

一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米?

解析：显然相同的路程，逆水所需时间多于顺水所需的时间，则开始取乙地逆水所需的时间多于1小时，即第二小时部分时间是在逆水的。

但是第二小时顺水的时间为68=0.75小时，

那么逆流行驶的时间是2--0.75=1.25小时。

则顺流的速度是逆流速度的1.250.75=倍，

则逆流速度为8(-1)1=12千米/小时。

则甲乙两地的路程为121.25=15千米。

试题三

按照下图给出的各数字的奇偶性补全这个除法竖式。

解析：注意到除数乘商的百位数字所得的积对应为偶奇偶，而除数的个位为6，商的个位是6，商的百位是一个奇数。

首先商的百位不为1，只能从3、5、7、9中取值，而它们乘6都会有进位。又因为商的百位数字和除数的十位数字都是奇数，它们的乘积仍是奇数，而商的百位与除数的积的十位数字也是奇数。所以商的百位乘6以后所进的数一定是偶数。而只有67=42，正好进位偶数4，因此商的百位是7。

因为商的百位数字乘除数仍是三位数，因此除数的首位一定是1;

而它们的积的首位是偶数，所以只能是8，再进一步就可以很容易地得出除数的十位数字为1，于是除数为116。

再确定商的十位数字，它乘上116之后是奇偶偶的情形，且它是一个奇数，那么只可能是3或者5，1163=348，1165=580。

如果商的十位数字是5，那么奇奇奇减580所得的差不可能是偶奇的形式，因此商的十位数字是3。

最后看商的个位，是个偶数，乘116之后积是偶奇偶的形式。这只可能是2或6。

1162=232，1166=696。

再联系商的十位数字，1163=348，若商的个位为6，则应该有：348加上69以后所得三位数是奇奇奇的形式，而348+69=417不是奇奇奇的形式，所以商的个位是2。

因此，商是732，除数是116，被除数是732116=84912。

有完整的竖式如下：