例1. 今天是星期四，101000天之后将是星期几？
分析：因为一个星期有七天，这就是一个求除以7的余数问题，我们先观察一下，10除以7余数是3，102除以7余数是2，103除以7余数是6，接下来我们可以利用同余定理的性质，104除以7的余数就是103除以7的余数6乘以10再除以7的余数，就是4，105除以7的余数就是104除以7的余数4乘以10再除以7的余数，就是5，106除以7的余数就是105除以7的余数5乘以10再除以7的余数，就是1。接下来107除以7的余数就是106除以7的余数1乘以10再除以7的余数，就是3，形成一个周期，而且周期为6，1000除以6等于166余4，所以101000除以7的余数就等于104除以7的余数，为4。星期四再过4天就是星期一。
例2.三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是？
分析：本题看起来是一个关于整除或约数、倍数的题，但实际上不大用得上被4、7、9整除的数的特征或者约数、倍数的一些性质，而如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数为基础，那么另外的两个数分别为这个数减1和这个数加1，那么题目变为：一个数除以4余1，除以9余8，且能被7整除，且这个数的最小可能值．这是一个余数问题：
除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，…；
除以9余8的数有：8，17，26，…．
可见同时满足这两条的数最小为17，由于4和9的最小公倍数是36，
那么满足除以4余1且除以9余8的数有：17，53，89，125，161，197……
其中能被7整除的数最小为161，所以所求的3个连续自然数的中间的那个数最小为161，那么它们的和最小为161×3＝483。