第十五届华杯赛总决赛二试试题及答案
1、在静水中，甲船的速度是乙船速度的两倍。甲乙二船沿河分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比为3：1，如果甲乙分别从B、A同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比为。
【分析】设乙船静水速度为x，甲船静水速度为2x，水速为y，有2x+y=3(x-y)，所以x=4y，且A到B为顺水，那么第二次速度比为(2x-y):(x+y)=7:5，相遇时距A、B的距离之比为5：7。
2、一个8行n列的阵列队伍，如果排列成若干个15行15列的方阵，还余下3人，1人举旗，2人护旗。则n最小等于。
【分析】设有k个方阵，那么8n=225k+3，考虑除以8的余数，k最小为5，n最小为141。
3、自三角形ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F。以BD，CD，CE，AE，AF，BF为直径分别向形外作半圆。如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6。若S5-S6=2，S1-S2=1，那么S4-S3=。
【分析】连接AP，BP，CP，由勾股定理，，相加得到，所以S5+ S3+ S1=S6+ S2+ S4，所以S4-S3=3
4、小华把数字2~9分成4对，使得每对数的和为质数。问一共有多少种不同的分法？
【分析】显然这4对数均为1奇1偶，6只能和5或7一组。
（1）6与5一组，那么7与4一组，剩下4个数有2种排法。
（2）6与7一组，○14和3一组，剩下4个数2种排法。
○24和9一组，剩下4个数2种排法。
一共有6种排法。
5、将1，2，3，……，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作，其中，，并使得能被整除（），求
【分析】显然这37个数的总和是的倍数，所以总和是的倍数，所以，对于，有38是的倍数，所以
6、15张卡片，每张卡片上写有3个不同的汉字，任意2张上的汉字不完全相同；任意6张中，一定有2张，它们上面有共同的汉字。问：这15张卡片上最多有多少个不同的汉字？
【分析】考察1~6张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第一张有汉字重复，考察2~7张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第二张有汉字重复，……，考察10~15张卡片，至少有2个汉字重复，这样的话，至少重复了10次，15张卡片共45个汉字，至多还有35个不同的汉字。构造一种35个汉字的方案：前11张卡片都恰好有同一个汉字，其余22个汉字各不相同，后4张卡片12个汉字各不相同。这样的35个汉字满足要求。