第三届“华罗庚金杯”少年数学赛一试试题答案

1.【解】原式=

2.【解】360＝2×2×2×3×3×5＝23×32×5

所以360有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝24个约数

约数的和是(1＋2＋22＋23)×(1十3＋32)×(1十5)＝1170

3.【解】我们先注意，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，…，第五行的每个数的分子、分母之和等于6。由此可看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1．

其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2．…，即自左起第几个数的分母就是几.

因此，所在的行数等于1991＋1949－1＝3939。而在第3939行中，位于自左至右第1949个.

4.【解】我们来一条一条地画直线．画第一条直线将圆形纸片划分成2块。画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块(增加了2块)，否则只能划分成3块。类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同(即没有3条直线交于一点)，则将圆形纸片划分成7块(增加了3块)，否则划分的块数少于7块。下图是画3条直线的各种情形

由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块教，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同。这时增加的块数等于直线的条数。这样划分出的块数,列表如下：

直线条数纸片最多划分成的块数

11＋121＋1＋231＋1＋2＋351＋1＋2＋3＋451＋1＋2＋3＋4＋5

不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。因为1＋1＋2＋3＋…＋10＝56，1＋1＋2＋3＋…＋9＝46，可见第9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了.

答：至少要画10条直线.

5.【解】我们先画一个图如下，其中A是学校，B是工厂，C是汽车和劳模相遇的地点。

汽车从A到B往返需1小时，即从A到B需30分钟，汽车从A到C往返用了40分钟，即从A到C需20分钟，从而从C到B需30－20＝10(分钟)。因为汽车到达C点是2点20分，所以劳模从B到C共用60＋20＝80(分钟)，从而汽车速度是劳模步行速度的8(＝80÷10)倍。

答．圆周上还剩下124枚白子。