第十届华杯赛总决赛一试试题答案

一、填空

1. 1452.273. 10005与10020

二、解答题

4. 红色八边形的面积是

5. 至少有25名小朋友6. 甲到过山顶9次

1．【解】甲跑1000米，乙跑了950米，乙跑1000米，丙跑900米，

所以甲跑1000米时，丙跑了950×＝855（米），丙距终点1000－855＝145（米）.

2．【解】设中间数为n则（n－2）×n×（n＋2）＝2***3，又知（n－2）×（n＋2）＜n2，而273＝19683，所以，n应大于27，而7×9×1＝63，故最小数应为27，27×29×31＝24273，符合题意，并且是唯一解.

3．【解】能被15整除的最小5位数是10005，10005＋15＝10020，按照题目所给的操作，只需将这两个五位数取为10005和10020，则经过1次操作，较小的数变为15，较大的数变为10005，再经若干此次操作，较小的数一直不变，较大的数每次减少15，直到较大的数变为30，再经一次操作两个数都变成了15.

3．【解】能被15整除的最小5位数是10005，10005＋15＝10020，按照题目所给的操作，只需将这两个五位数取为10005和10020，则经过1次操作，较小的数变为15，较大的数变为10005，再经若干此次操作，较小的数一直不变，较大的数每次减少15，直到较大的数变为30，再经一次操作两个数都变成了15.

4．【解】如图，易知蓝边正方形面积为，△ABD面积为，△BCD面积为，

所以△ABC面积为，可证AE∶EB＝1∶4，

黄色三角形面积为△ABC的，等于，由此可得，所求八边形的面积是：.

至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.

【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MOF的面积为正方形面积的，N为OF中点，△OPN面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的，为正方形面积的，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的.

5、【解】不超过15元可购买商品的方法有：

共12种方法，所以如果有25人，必然会有3人购买的商品完全相同.

答：至少有25名小朋友.

6．【解】不妨设想为在一条直线上的运动，将上山的路程看作下山路程的1.5倍，并设AC＝1，则CB＝2，下山路程＝2，将上山、下山一个全程看作5，重复在一条直线上进行.如下图：

B点表示山顶，甲到达山顶所走的路程可以表示为：5×n－2（其中n为整数，表示到达山顶的次数），此时乙所走的路程为（5×n－2）×，乙处于的位置为（5×n－2）×÷5＝（5×n－2）÷6的余数，设此余数为k，当0＜k≤1时，乙刚好处于AC段.因为所求为甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬，可以从n＝1开始，依次求出，列表如下：

即当甲第二次在山顶上看到乙在AC段上爬时（包括此时），甲到过山顶9次.