“希望杯”数学邀请赛培训题(四)及答案解析
二、解答题
76．一辆公共汽车由起点站到终点站（含起点站与终点站在内）共行驶8个车站。已知前6个车站共上车100人，除终点站外共下车总计80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客共有多少人？
77．已知代数式
，当
时的值分别为1－，2，2，而且
不等于0，问当
时该代数式的值是多少？
78．如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？
79．有理数
均不为0，且
设
试求代数式
2000之值。
80．已知
为整数，
如果
，请你证明：
。
答案与提示
76．设第1站到第7站上车的乘客依次为：
第2站到第8站下车和乘客依次为：
显然应有：
＝
已知
＝100，
＝80，
代入 100＋
即
这表明，从前6站上车而在终点站下车的乘客共20个。
77．将
分别代入该代数式，得到
由此可得 
将
代入第一个和第三个等式中，得
∴
； 
进而得到 
将
和
代入代数式中，得到
＝
；再将代入，得
即当时该代数式的值是
78．设甲的运动速度是
乙的运动速度是
，丙的运动速度是
．设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有
－＝
①
甲比丙多运动一圈用时40秒，故有－＝
②
②－①可得到－＝－＝
③
④
⑤
甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离
＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用时间＝
＝
秒．所以第110秒时，乙追上丙．
79．由均不为0，知
均不为0．又中不能全同号，故必一正二负或一负二正．于是
即 
所以
中必有两个同号，另一个符号其相反，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1．
∴ 
因此，
80．已知
又已知
即存在整数
，使得
所以 
由整除性质得 