第二讲 比和比例

在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．

成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．

下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．

例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？

①速度一定，路程与时间．

②路程一定，速度与时间．

③路程一定，已走的路程与未走的路程．

④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．

⑤总产量一定，亩产量和播种面积．

⑥整除情况下被除数一定，除数和商．

⑦同时同地，竿高和影长．

⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．

⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．

⑩圆的半径和面积．

(11)长方体体积一定，底面积和高．

(12)正方形的边长和它的面积．

(13)乘公共汽车的站数和票价．

(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．

(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．

分析 以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个

种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①

×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．

解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)

成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)

不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．

例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？

分析 要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．

解：上坡路的路程：

例3 一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？

分析 要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．铜的重量始终没有变．

解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量：

36－6＝30（克）．

铜的重量：

新合金中锌的重量：

36－12＝24（克）．

新合金内铜和锌的比：

12∶24＝1∶2．

答：新合金内铜和锌的比是1∶2．

例4 师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？

例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？

分析这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工效看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100台/天．从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数．

根据工效和工时成反比例的关系，得：

提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．

解法1：设完成计划还需x天．

1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×5

80×1.25×x＝1600－400

100x＝1200

x＝12．

答：完成计划还需12天．