六年级奥数试题及答案：整数的裂项与拆分

若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去．再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子？

考点：整数的裂项与拆分．

分析：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有（a+1）个小球．

同样，现在另有一个盒子装有（a+1）个小球，这只盒子里原来装有（a+2）个小球．

类推，原来还有一只盒子装有（a+3）个小球，（a+4）个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数．

所以将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数，据此解答．

解：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，

这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有（a+1）个小球．

同样，现在另有一个盒子装有（a+1）个小球，这只盒子里原来装有（a+2）个小球．

类推，原来还有一只盒子装有（a+3）个小球，（a+4）个小球等等，

故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数．

将42分拆成若干个连续整数的和，

因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又（7+5）+（8+4）+（9+3）是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数；

又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数；

又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数．

所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子．

答：一共有7只、4只或3只盒子．

点评：解答本题的关键是将问题归结为把42分拆成若干个连续整数的和．