奥数难题：特殊数题1

(1)21-12

当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。

因为这样的两位数减法，最低起点是21-12，差为9，即(2-1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89，都可类推。

被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如

210-120=(2-1)×90=90，

0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。

(2)31×51

个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

若十位数字的和满10，进1。如

证明：(10a+1)(10b+1)

=100ab+10a+10b+1

=100ab+10(a+b)+1

(3)26×86 42×62

个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。

证明：(10a+c)(10b+c)

=100ab+10c(a+b)+cc

=100(ab+c)+cc (a+b=10)。

(4)17×19

十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。

原式=(17+9)×10+7×9=323

证明：(10+a)(10+b)

=100+10a+10b+ab

=[(10+a)+b]×10+ab。

(5)63×69

十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。

原式=(63+9)×6×10+3×9

=72×60+27=4347。

证明：(10a+c)(10a+d)

=100aa+10ac+10ad+cd

=10a[(10a+c)+d]+cd。

(6)83×87

十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如

证明：(10a+c)(10a+d)

=100aa+10a(c+d)+cd

=100a(a+1)+cd(c+d=10)。

(7)38×22

十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

原式=(30+8)×(30-8)

=302-82=836。

(8)88×37

被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。

(9)36×15

乘数是15的两位数相乘。

被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

(10)125×101

三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125+1=126。

原式=12625。

再如348×101，因为348+3=351，

原式=35148。

(11)84×49

一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。

原式=8400÷2-84

=4200-84=4116。