六年级奥数题及答案：计算（中等难度）
2011-09-14 15:30:49
标签：工程问题
计算：（中等难度）
一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之和的差是11的倍数，那么这个自然数是11的倍数，例如1001，因为1+0=0+1，所以它是11的倍数；又如1234，因为4+2-（3＋1）=2不是11的倍数，所以1234不是11的倍数.问：用0、1、2、3、4、5这6个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几个是11的倍数？
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计算答案：
用１．２．３．４．５组成不含重复数字的六位数，
，它能被11整除，并设a1+a3+a5≥a2+a4+a6，则对某一整数k≥0，有：
a1+a3+a5-a2-a4-a6=11k （*）
也就是：
a1+a2+a3+a4+a5+a6=11k+2（a2+a4+a6）
15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a2+a4+a6） （**）
由此看出k只能是奇数
由（*）式看出，0≤k<2 ，又因为k为奇数，所以只可能k=1，但是当k=1时，由（**）式看出a2+a4+a6=2.
但是在0、1、2、3、4、5中任何三个数之和也不等于2，可见k≠1.因此（*）不成立.
对于a2＋a4＋a6＞a1＋a3＋a5的情形，也可类似地证明（a2＋a4＋a6）-（a1＋a3＋a5）不是11的倍数.
根据上述分析知：用0、1、2、3、4、5不能组成不包含重复数字的能被11整除的六位数.
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来源：查字典奥数网