数数与计数（二）

例1 数一数，图3－1中共有多少点？

解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：

第一层 1个

第二层 2个

第三层 3个

第四层 4个

第五层 5个

第六层 6个

第七层 7个

第八层 8个

第九层 9个

第十层 10个

第十一层 9个

第十二层 8个

第十三层 7个

第十四层 6个

第十五层 5个

第十六层 4个

第十七层 3个

第十八层 2个

第十九层 1个

总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）

=55+45=100（利用已学过的知识计算）.

（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数

第一层 1个

第二层 3个

第三层 5个

第四层 7个

第五层 9个

第六层 11个

第七层 13个

第八层 15个

第九层 17个

第十层 19个

总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.

（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.

想一想：

①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.

②由方法1和方法3得出下式：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：

1=1×1

1+2+1=2×2

1+2+3+2+1=3×3

1+2+3+4+3+2+1=4×4

1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5

1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6

1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7

1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8

1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.

同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.

③由方法2和方法3也可以得出下式：

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.

即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：

1+3=2×2

1+3+5=3×3

1+3+5+7=4×4

1+3+5+7+9=5×5

1+3+5+7+9+11=6×6

1+3+5+7+9+11+13=7×7

1+3+5+7+9+11+13+15=8×8

1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10

还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.

例2 数一数，图3－5中有多少条线段？

解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：

AB AC AD AE AF 5条.

以B点为共同左端点的线段有：

BC BD BE BF 4条.

以C点为共同左端点的线段有：

CD CE CF 3条.

以D点为共同左端点的线段有：

DE DF 2条.

以E点为共同左端点的线段有：

EF1条.

总数5+4+3+2+1=15条.

（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.

总数5+4+3+2+1=15（条）.

想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：

还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.

②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：

线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数 线段总条数

还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.

例3 数一数，图3－9中共有多少个锐角？

解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.

所以，以OA边为公共边的锐角有：

∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，

∠AOF共5个.

以OB边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.

以OC边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有：∠EOF只1个.

锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.

②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为：5+4+3+2+1=15（个）.

想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见图3－11～15）

总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1.

②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：

角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数.

③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.