“希望杯”数学邀请赛培训题(三)及答案解析

51．将一个长为，宽为的矩形分为六个相同的小矩形，然后在矩形中画出形如字母M的图形，记字母M的图形面积为S，则S＝＿＿。

52．有理数－3，＋8，－，0.1，0，，－10.5，－0.4中，所有正数的和填在下式的?中，所有负数的和填在正式下式的□中，并计算出下式的结果填在等号左边的横线上。 ?÷□＝＿＿。

53．填数计算：?中填入最小的自然数，△中填入最小的非负数，□中填入不小于－5且小于3的整数的个数，将下式的计算结果写在等号右边的横线上。（?＋□）×△＝＿＿。

54．从集合中取出三个不同的数，可能得到的最大乘积填在□中，可－能得到的最小乘积填在?中并将下式计算的结果写在等号右边的横线上。－（－□）÷?＝＿＿。

55．计算：

56．有这样一个衡量体重是否正常的简单算法。一个男生的标准体重（以公斤为单位）是其身高（以厘米为单位）减去110。正常体重在标准体重减标准体重的10％和加标准体重的10之间。已知甲同学身高161厘米，体重为W，如果他的体重正常，则W的公斤数的取值范围是_____.

57．若A是有理数，则的最小值是＿＿＿.

58．计算：.

59．有理数在数轴上的位置如图所示，化简

60．X是有理数，则的最小值是_____.

61．如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，则线段AC的长度为_____.

62．设和为非负整数，已知和的最小公倍数为36，

63．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒7米的速度跑向百米终点，5秒后甲听到乙的叫声，看到乙跌倒在地，已知声音的传播速度是每秒340米，这时乙已经跑了_____.米（精确到个位）

64．现有一个代数式时该数式的值为时该代数式的值为则

65．如图，一个面积为50平方厘米的正方形与另

一个小正方形并排放在一下起，则的

面积是＿＿平方厘米。

66．在六位数2552中皆是大于7的数码，这个六位数被11整除，那么，四位数。

67．今有1分，2分和5分的硬币共计15枚，共值5角2分，则三种硬币个数的乘积是＿＿＿。

68．数学小组中男孩子数大于小组总人数的40％小于50％，则这个数学小组的成员至少有＿＿＿人。

69．用三个数码1和三个数码2可以组成＿＿个不同的四位数。

70．在三位数中，百位比十位小，并且十位比个位小的数共有＿＿个。

71．在100∽1999这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有＿＿个。

72，有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说：“一半学生学数学，四分之一学音乐，七分之一正休息，还剩三个女学生。”问毕达哥拉斯的学校中有多少学生？

答：毕达哥拉斯的学校中有＿＿个学生。

73．丢番图（二世纪时希腊数学家）的基碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，先父四年亡，丢番图到底寿多长？”

答：丢番图的寿命是＿＿岁。

74．有人问某儿童，有几个兄弟、有几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟，就有几个姐妹。”再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍。”问他们兄弟、姐妹各几人？

答：他们有兄弟＿＿人，姐妹＿＿人。

75．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的罗数等于我今年岁数的一半，当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁。”两人现年各多少岁？答：甲现年＿＿岁，乙现年＿＿。

答案与提示

51．形的面积等于矩形面积减去三个小三角形面积，而三个小三角形面积恰好是短形面积的，所以

52．○中填的数是：

□中填的数是：

而

53．○中填1，△中填0，□填8。（1＋8）×0＝0．

54．由－3，－2，－1，4，5中任取三个相乘可得10种不同的乘积，它们是

（－3）（－2）（－1）＝－6，（－3）（－2）4＝24，（－3）（－2）5＝20，

（－3）（－1）4＝12，（－3）（－1）?5＝15，（－3）（4）（5）＝－60，

（－2）（－1）?4＝8，（－2）（－1）?5＝10，（－2）?4?5＝－40，（－1）?4?5＝－20．

最大乘积是30，最小的乘积是－60．－（－30）÷－60＝－

55． 1－

＝＝

＝

56．按规则，甲同学的标准体重为161－110＝51，正常体重应在与之间，即所以

57．若则

若<0，则>0．所以的最小值是0．

58．

=

=

59．由图可见，

又 ；

由图可知 所以：

60．分三种情况讨论：

（1） 当时，

（2） 当时，

(3)当时，

综合（1），（2），（3），可得，最小值是

61．设线段的长度为，则

所以 即

即 长度为

62．由于36是的倍数，所以只能是0或3，同理，36也是的倍数，所以只能是0或1．于是是3或18，是1或4．在四对数3，1；3，4；18，1和18，4中，只有18和4的最小公倍数是36，因而所以

63．设乙跑了X米，则在秒时乙发出叫声，声音传到甲处用了秒，两段时间之和等于5，所以

米

64．因为

所以

65．设大正方形长为，小正方形边长为，则S△ABC

平方厘米．

66．设则其中为8或9，因为250052，10，被11除的余数分别为0，－1，1，可设250052＝为正整数，故可得所以所求四位数是1885或1995．

67．设1分、2分、5分硬币分别为枚，则

得

当时，，；当，3，4时均不合题意；当5时，，

；当6，7，8均不合题意．

所以，原方程的解为

或 ，或．

68．设这个数学小组的成员共有人，男孩子为人，则均为自然数，且．

即： 且． 于是： 且 则：

所以 所以最小值是7． 这时

所以 因此，这个数学小组成员至少有7个人。

69．四位数每个数位都可以选1或2，共两种方法，所以排成四位数共有种方法。但由于只有三个1和三个3，因此不可能出现1111和2222这两个数，所以用三个数码2可以组成个不同的四位数，它们是：1222，2122，2212，2221，1122，1212，1221，2112，2121，2211，1112，1211，2111，1121．

70．按百位数字分类讨论：

① 百位数字是8，9时不存在，个数0；

② 百位数字是7，只有789，1个；

③ 百位数字是6，只有679，678，689，共3个；

④ 百位数字是5，有567，568，569，578，579，589，共6个；

⑤ 百位数字是4，有456，457，458，459，467，468，469，478，479，489共10个；

⑥ 百位数字是3时，共15个；

⑦ 百位数字是2时，共21个；

⑧ 百位数字是是1时，共28个。

总计，共1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＝80个。

71．后两位数字相同，只有00，11，22，33，44，55，66，77，88，99这10种可能情形，而每一种相同的末两位数字相同的数，百位到千位对应着1，2，…，19这19种可能，所以在100－1999这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有19×10＝190个。

72．设毕达哥拉斯学校有学生人，则正在学数学的为人，正在学音乐的为人，正休息的为人．依题意列出如列方程：

解得： 人。

73．设丢番图寿命为岁，则他的童年时期为岁，他的少年时期为岁，又过了生命的七分之一，即，儿子年岁为，丢番图寿命等于各阶段年数之和，得

解得： ．丢番图一生活了84岁。

74．设他们有兄弟人，姐妹人，则依题意可列出如下的二元一次方程组

， 解得 即他们有兄弟4人，姐妹3人。

75．设甲现年岁，乙现年岁，甲比乙大岁。由甲说的前半句话：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年岁数的一半”可得 ①

由甲说的后半句话：“当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7”可得 ②

将①，②联立，解得 所以甲现年28岁，乙现年21岁。