二、例题
例1三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
解：∵210=2×3×5×7
∴可知这三个数是5、6和7。
例2两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：
40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么？
解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？
解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14
（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。
例6有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。
解：42560=26×5×7×19
＝25×（5×7）×（19×2）
＝32×35×38（合题意）
要求的三个自然数分别是32、35和38。
例7有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，
a×c＝10.求a×b×c是多少？
解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。
（a×b）×（b×c）×（a×c）
=（2×3）×（3×5）×（2×5）
∴a2×b2×c2=22×32×52
∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2
a×b×c=2×3×5＝30
在例7中有a2＝22，b2=32，c2=52，其中22=4，32＝9，52＝25，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数.
下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。
例如：把下列各完全平方数分解质因数：
9，36，144，1600，275625。
解：9=3236=22×32144=32×24
1600=26×52275625=32×54×72
可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。
反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。
如上例中，36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。
例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。
分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数，
∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。
解：∵1080×a=23×33×5×a，
又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，
∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。
∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。
答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。
例9问360共有多少个约数？
分析360=23×32×5。
为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有约数.为了求32×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5的所有约数。
解：记5的约数个数为Y1，
32×5的约数个数为Y2，
360（=23×32×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：
Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，
显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。
因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以360共有24个约数。
说明：Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝23×32×5中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23×32×5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23×32×5中质因数5的个数加1.因此
Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。
对于任何一个合数，用类似于对23×32×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。
例10求240的约数的个数。
解：∵240＝24×31×51，
∴240的约数的个数是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240有20个约数。
请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？
二、例题
例1三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
解：∵210=2×3×5×7
∴可知这三个数是5、6和7。
例2两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：
40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么？
解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？
解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14
（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。
例6有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。
解：42560=26×5×7×19
＝25×（5×7）×（19×2）
＝32×35×38（合题意）
要求的三个自然数分别是32、35和38。
例7有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，
a×c＝10.求a×b×c是多少？
解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。
（a×b）×（b×c）×（a×c）
=（2×3）×（3×5）×（2×5）
∴a2×b2×c2=22×32×52
∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2
a×b×c=2×3×5＝30
在例7中有a2＝22，b2=32，c2=52，其中22=4，32＝9，52＝25，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数.
下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。
例如：把下列各完全平方数分解质因数：
9，36，144，1600，275625。
解：9=3236=22×32144=32×24
1600=26×52275625=32×54×72
可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。
反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。
如上例中，36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。
例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。
分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数，
∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。
解：∵1080×a=23×33×5×a，
又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，
∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。
∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。
答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。
例9问360共有多少个约数？
分析360=23×32×5。
为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有约数.为了求32×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5的所有约数。
解：记5的约数个数为Y1，
32×5的约数个数为Y2，
360（=23×32×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：
Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，
显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。
因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以360共有24个约数。
说明：Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝23×32×5中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23×32×5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23×32×5中质因数5的个数加1.因此
Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。
对于任何一个合数，用类似于对23×32×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。
例10求240的约数的个数。
解：∵240＝24×31×51，
∴240的约数的个数是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240有20个约数。
请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？