计数方法与技巧：递推法例题精讲

计数方法与技巧（递推法概念）

计数方法与技巧（递推法例题）

例1：的乘积中有多少个数字是奇数？

分析与解答：

如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。

9×9＝81，有1个奇数；

99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数；

999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001，有3个奇数；

……

从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。

例题2：

分析与解答：

这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。

例题3： 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？

分析与解答：

难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。

这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。

第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。

第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。

第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。

由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。

2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?

第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500

第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125

第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31

第七次：31÷2＝15 ……1 第八次：15÷2＝7 ……1

第九次：7÷2＝3 ……1 第十次：3÷2＝1 ……1

所以共需报10次数。

那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：

2×2×2×…×2＝1024（号）

例题4： 平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？

分析与解答：

直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。

一个圆最多将平面分为2部分；

二个圆最多将平面分为4部分；

三个圆最多将平面分为8部分；

当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此，二个圆最多将平面分为2＋2＝4部分。

同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此，三个圆最多将平面分为2＋2＋4＝8部分。

由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最多有9×2＝18个交点，第10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。因此，10个圆最多将平面分成的部分数为：

2＋2＋4＋6＋…＋18

＝2＋2×（1＋2＋3＋…＋9）

＝2＋2×9×（9＋1）÷2

＝92

类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：

2＋2＋4＋6＋…＋2（n－1）

＝2＋2×[1＋2＋3＋…＋（n－1）]

＝2＋n（n－1）

＝n2－n＋2