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质数、质因数和互质数有什么区别?

2015-11-16 11:50:39     标签:质数合数

质数、质因数和互质数这三个术语的概念极易混淆,因为它们都有质和数两个字。正确地区分这几个概念,对掌握数的整除性这部分基础知识,有着极其重要的意义。

(1)质数:一个自然数,如果只有1和它本身两个约数,这个数叫做质数(也称素数)。

例如:

1的约数有:1;

2的约数有:1,2;

3的约数有:1,3;

4的约数有:1,2,4;

6的约数有:1,2,3,6;

7的约数有:1,7;

12的约数有:1,2,3,4,6,12;

从上面各数的约数个数中可以看到:一个自然数的约数个数有三种情况:

①只有一个约数的,如1。因此,1不是质数,也不是合数。

②只有两个约数的(1和它本身),如2,3,7

③有两个以上约数的,如4,6,12

属于第②种情况的,叫做质数。属于第③种情况的,即:除了1和本身以外,还有别的约数,这样的数叫做合数。

(2)质因数:一般地说,一个数的因数是质数,就叫做这个数的质因数。

例如:18=233

这里的2、3、3都是18的因数,而2和3本身又都是质数,于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。这里需要注意的是:18也可以写成3与6的乘积,即:18=36,无疑3和6都是18的因数,但3本身是质数,可以称做18的质因数,而6是合数,则不能称做18的质因数。

(3)互质数:两个或几个自然数,当它们的最大公约数是1的时候,这两个或几个数,就叫做互质数(也叫互素数)。

例如:5和7,4和11,8和9,7、11和15,12、20和35。

上述这几组数,它们的最大公约数都是1,因此,它们都是互质数。在以上两个互质数中,如7、11和15这三个数,7和11是互质数,11和15是互质数,7和15也是互质数。这类情况,我们就叫做这三个数两两互质。但12、20和35这组数中,虽然它们也是互质数,但不是两两互质,因为12和35是互质数,至于12和20、20和35都不是互质数。

需要注意的是:不管两个数互质或者两个的数以上互质,这些数本身却不一定是质数,如5和7是互质数,它们本身都是质数;4和11是互质数,其中4并不是质数;8和9是互质数,但8和9本身都不是质数。

总之,质数是指一个数。譬如说:2是质数,11是质数等等。质因数虽然也是指一个数,但是它是针对另一个数而说的。譬如说:5是35的质因数。如果离开35,孤立地说:5是质因数。则是不妥当的。因此,质因数具有双重身份:第一必须是个质数;第二必须是另一个数的因数。

互质数同质数、质因数都不同,它不是指一个数,而是指除了1以外,再没有其他公约数的两个或两个以上的数。

由此可见:掌握质数、质因数和互质数这几个术语的概念,其中质数是基础,这三者之间既有联系,又有区别,要透彻理解和正确区分,才能防止混淆。

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