二年级奥数知识点：一笔画问题

一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗?他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成(没有重复的笔划)，但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.(见下图)

这可真有意思!由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢?下面是他试着画的图样.(见下图)

经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的(1)、(3)、(5)能一笔画成;(2)、(4)、(6)不能一笔画成.真奇怪!小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢?小明进一步又提出了如下问题：

如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢?

能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成?

先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.

首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连;有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.

其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组(见下图)

(1)两个点，一条线.

每个点都只与一条线相连.

(2)三个点.

两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.

第一组的两个图都能一笔画出来.

(但注意第(2)个图必须从一个端点画起)第二组(见下图)

(1)五个点，五条线.

A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.

(2)六个点，七条线.(“日”字图)

A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.

第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点(或B点)，而终点则定是B点(或A点).

第三组(见下图)

(1)四个点，三条线.

三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.

(2)四个点，六条线.

每个点都与三条线相连.

(3)五个点，八条线.

点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.

第三组的三个图形都不能一笔画出来.

第四组(见下图)

(1)这个图通常叫五角星.

五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.

(2)由一个圆及一个内接三角形构成.

三个交点，每个点都与四条线相连(这四条线是两条线段和两条弧线).

(3)一个正方形和一个内切圆构成.

正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.

(四条线是两条线段和两条弧线).

第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组(见下图)

(1)这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连.

(2)这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.

第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来.

进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：

把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点;把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点.

提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：

从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：

①不连通的图形必定不能一笔画;能够一笔画成的图形必定是连通图形.

②有0个奇点(即全部是偶点)的连通图能够一笔画成.(画时可以任一点为起点，最后又将回到该点).

③只有两个奇点的连通图也能一笔画成(画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点);

④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则：

有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.

能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.

用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.

看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.

从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见：

①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.

②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点;如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.