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简单应用和比例理论

2015-11-16 11:50:39     标签:六年级

所谓出入相补原理,用现代语言来说,就是指这样的明显事实:一个平面图形从一处移置他处,面积不变。又若把图形分割成若干块,那么各部分面积的和等于原来图形的面积,因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。

应用这一原理,容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式,由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例,可以观察左图,如果看作把△ACD移置△ACB处,又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ'、Ⅱ',那么依出入相补原理有:

Ⅲ=Ⅲ',□PC=□RC,(指面积相等)

由此得

POOS=ROOQ,POQC=RBBC,

PO=AR,OS=QC,PQ=AB,RB=OQ,

因而

AR:OQ=RO:QC,AB:OQ=BC:QC,

就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相应勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。

以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出,但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题,参看《刘注》。

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    所谓出入相补原理,用现代语言来说,就是指这样的明显事实:一个平面图形从一处移置他处,面积不变。又若把图形分割成若干块,那么各部分面积的和等于原来图形的面积,因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。

    应用这一原理,容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式,由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例,可以观察左图,如果看作把△ACD移置△ACB处,又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ'、Ⅱ',那么依出入相补原理有:

    Ⅲ=Ⅲ',□PC=□RC,(指面积相等)

    由此得

    POOS=ROOQ,POQC=RBBC,

    PO=AR,OS=QC,PQ=AB,RB=OQ,

    因而

    AR:OQ=RO:QC,AB:OQ=BC:QC,

    就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相应勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。

    以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出,但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题,参看《刘注》。

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