2014年第十三届“小机灵”杯数学竞赛初赛定于2014年12月13日举行,得分在前30%的胜出者将进入2015年2月1日举行的决赛。下面我们就来看看小机灵杯赛前模拟题精析:数列与图形规律。
【考点分析】2.数列规律与图形规律
一、数列
主要包括
(1)递增数列(等差数列,等比数列),等差数列为重点考察对象。
(2)周期数列
如:1,2,4,7,π,1,2,4,7,π,1,2,4,7,π,1,2,4,7,π………
(3)复合数列;例如:1,3,2,6,3,9,4,12,5,15………
(4)特殊数列;例如:斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21………
(5)等差数列:从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称为等差数列。
主要掌握的公式
(1)等差数列的通项公式:第n项=首项+(项数-1)×公差。即an=a+(n-1)×2
(2)项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1。即n=(an-a1)÷d+1
(3)求和公式:和=(首项+末项)×项数÷2。即Sn=(a1+an)×n÷2
(4)中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数。
(5)1+3+5+…+(2n-1)=n²
1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n²
二、图形规律
图形规律探究型问题是指由给出几个具体的、特殊的图形,要求找出其中的变化规律,从而猜想出一般性的结论。
具体方法和步骤是:
(1)通过对几个特例的分析,寻找规律并且归纳;
(2)猜想符合规律的一般性结论;
(3)验证或证明结论是否正确。在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。
例:2+4+6=1+3+5+3;
8+10+12+14=7+9+11+13+4;
16+18+20+22+24=15+17+19+21+23+5;
………
第十个等式的右边的和是多少?
【分析】前九个等式左边的数共有3+4+……+11=(3+11)×9÷2=63个数,
那么第十个等式左边第一个数是2+(64-1)×2=128,
所以第十个等式右边的数的和是128+130+…+150=(128+150)×12÷2=1668