1．【解】△AOB与△COB等高，所以△AOB的面积∶△COB的面积＝AO∶OC，

又△AOD与△COD等高，所以△AOD的面积∶△COD的面积＝AO∶OC，

△ABD＝△AOB＋△AOD，△CBD＝△COB＋△COD

所以△ABD的面积∶△CBD的面积＝AO∶OC，

已知△ABD的面积∶△CBD的面积＝3∶5

所以AO∶OC＝3∶5，OC＝AO，AO＝1，OC＝.

2．【解】凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因素不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个.

3．【解】原式＝

4．【解】即求满足a×100＋b×10＋c＝（a＋b＋c）×10×2＋（a＋b＋c）×2＝22×（a＋b＋c）的a、b、c.

上式为：100a＋10b＋c＝22a＋22b＋22c，也即：78a－12b－21c＝0

因为12×9＋21×9＝297，297÷78＜4，所以a仅可能为1、2、3，

如果a＝1，即78＝12b＋21c，c＝，c只需用1、2、3试验，经验证b＝3，c＝2符合条件；

如果a＝2，即156＝12b＋21c，c＝，经验证b＝6，c＝4，符合条件；

如果a＝3，即234＝12b＋21c，c＝，经验证b＝9，c＝6，符合条件.

所以，共有三个三位数满足条件，它们是：132，264，396.

5．【解】将1到18的平方列表：

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
x2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324

要想得到尽量多的数的平方和，尽量取较小的数，从12开始：

12+22+32+42+52+62+72+82+92+102＝385，已经大于360了，刚好比360大25＝52，

所以360最多可以表示为9个互不相等的非零自然2数的平方和，即：

360＝12+22+32+42+62+72+82+92+102

6．【解】设有n名小朋友，共传k圈（最后一名传k－1圈），中断时各人手中糖数为a. 先研究a的取值，0中断（最后一名手中无糖可传）时，ax＝2nk－2，ax-1＝0，a1＝2n－4；1中断（最后一名手中只有一块糖）时，ax＝2nk－1，ax-1＝1，a1＝2n－3.分六种情况讨论：

（1）0中断，ax∶ax-1＝13∶1，即＝，显然无解.

（2）0中断，ax∶a1＝13∶1，即＝=> 26n－52＝2nk－2 => n（13－k）＝25，

可得n＝25，k＝12（n＝5，k＝8舍去）

（3）0中断，a1∶ax＝13∶1，即＝=> 26nk－26＝2n－4 =>n（13k－1）＝11，无整数解.

（4）1中断，ax∶ax-1＝13∶1，即＝=> 2nk－1＝13 => nk＝7，

可得n＝7，k＝1（n＝1，k＝7舍去）

（5）1中断，ax∶a1＝13∶1，即＝=> 26n－39＝2nk－1 =>n（13－k）＝19，

可得n＝19，k＝12

（6）1中断，a1∶ax＝13∶1，即＝=> 26nk－13＝2n－3 =>n（13k－1）＝5，无整数解.

由以上分析可得，最多有25位小朋友.

1．【解】△AOB与△COB等高，所以△AOB的面积∶△COB的面积＝AO∶OC，

又△AOD与△COD等高，所以△AOD的面积∶△COD的面积＝AO∶OC，

△ABD＝△AOB＋△AOD，△CBD＝△COB＋△COD

所以△ABD的面积∶△CBD的面积＝AO∶OC，

已知△ABD的面积∶△CBD的面积＝3∶5

所以AO∶OC＝3∶5，OC＝AO，AO＝1，OC＝.

2．【解】凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因素不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个.

3．【解】原式＝

4．【解】即求满足a×100＋b×10＋c＝（a＋b＋c）×10×2＋（a＋b＋c）×2＝22×（a＋b＋c）的a、b、c.

上式为：100a＋10b＋c＝22a＋22b＋22c，也即：78a－12b－21c＝0

因为12×9＋21×9＝297，297÷78＜4，所以a仅可能为1、2、3，

如果a＝1，即78＝12b＋21c，c＝，c只需用1、2、3试验，经验证b＝3，c＝2符合条件；

如果a＝2，即156＝12b＋21c，c＝，经验证b＝6，c＝4，符合条件；

如果a＝3，即234＝12b＋21c，c＝，经验证b＝9，c＝6，符合条件.

所以，共有三个三位数满足条件，它们是：132，264，396.

5．【解】将1到18的平方列表：

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
x2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324

要想得到尽量多的数的平方和，尽量取较小的数，从12开始：

12+22+32+42+52+62+72+82+92+102＝385，已经大于360了，刚好比360大25＝52，

所以360最多可以表示为9个互不相等的非零自然2数的平方和，即：

360＝12+22+32+42+62+72+82+92+102

6．【解】设有n名小朋友，共传k圈（最后一名传k－1圈），中断时各人手中糖数为a. 先研究a的取值，0中断（最后一名手中无糖可传）时，ax＝2nk－2，ax-1＝0，a1＝2n－4；1中断（最后一名手中只有一块糖）时，ax＝2nk－1，ax-1＝1，a1＝2n－3.分六种情况讨论：

（1）0中断，ax∶ax-1＝13∶1，即＝，显然无解.

（2）0中断，ax∶a1＝13∶1，即＝=> 26n－52＝2nk－2 => n（13－k）＝25，

可得n＝25，k＝12（n＝5，k＝8舍去）

（3）0中断，a1∶ax＝13∶1，即＝=> 26nk－26＝2n－4 =>n（13k－1）＝11，无整数解.

（4）1中断，ax∶ax-1＝13∶1，即＝=> 2nk－1＝13 => nk＝7，

可得n＝7，k＝1（n＝1，k＝7舍去）

（5）1中断，ax∶a1＝13∶1，即＝=> 26n－39＝2nk－1 =>n（13－k）＝19，

可得n＝19，k＝12

（6）1中断，a1∶ax＝13∶1，即＝=> 26nk－13＝2n－3 =>n（13k－1）＝5，无整数解.

由以上分析可得，最多有25位小朋友.