六年级奥数专题训练——同余问题
1.若a为自然数，证明10│（a2005－a1949）．
2.给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数．
3.求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．
4.设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余数各不相同．
5.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．
参考答案：
1.提示：对于任何自然数a，a5与a的个位数字相同．
2.提示：有两个数的差能被11整除
3.173
4.分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的．
证明：假设有两个数a、b，（a≠b，设b<a，且1≤a≤n，1≤b≤n），它们的平方a2，b2被2n＋1除余数相同．
那么，由同余定义得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．
即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是质数．
∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．
由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b与2n＋1互质，a－b也与2n＋1互质．即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．产生矛盾，∴原题得证．
说明：这里用到一个重要的事实：如果A·B≡0（modp），p是质数，那么A或B中至少有一个模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成立。例如2·3≡0（mod6），但2、3被6除余数不为0。
5.证明：∵质数中仅有一个偶数2，∴不小于5的质数是奇数．又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然数），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶数，又3│6n＋3．
∴不小于5的质数只可能是6n＋1，6n＋5．
又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是：6n－1，
∴（不小于5的质数）2－1＝（6n±1）2－1
＝36n2±12n＝12n（3n±1），
这里n与（3n±1）奇偶性不同，其中定有一个偶数，
∴2│n（3n±1），∴24│12n（3n±1）．∴结论成立．
说明：按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方法．
六年级奥数专题训练——同余问题
1.若a为自然数，证明10│（a2005－a1949）．
2.给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数．
3.求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．
4.设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余数各不相同．
5.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．
参考答案：
1.提示：对于任何自然数a，a5与a的个位数字相同．
2.提示：有两个数的差能被11整除
3.173
4.分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的．
证明：假设有两个数a、b，（a≠b，设b<a，且1≤a≤n，1≤b≤n），它们的平方a2，b2被2n＋1除余数相同．
那么，由同余定义得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．
即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是质数．
∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．
由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b与2n＋1互质，a－b也与2n＋1互质．即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．产生矛盾，∴原题得证．
说明：这里用到一个重要的事实：如果A·B≡0（modp），p是质数，那么A或B中至少有一个模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成立。例如2·3≡0（mod6），但2、3被6除余数不为0。
5.证明：∵质数中仅有一个偶数2，∴不小于5的质数是奇数．又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然数），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶数，又3│6n＋3．
∴不小于5的质数只可能是6n＋1，6n＋5．
又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是：6n－1，
∴（不小于5的质数）2－1＝（6n±1）2－1
＝36n2±12n＝12n（3n±1），
这里n与（3n±1）奇偶性不同，其中定有一个偶数，
∴2│n（3n±1），∴24│12n（3n±1）．∴结论成立．
说明：按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方法．