数论之整数拆分练习18

用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？

分析：用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法是一样的。于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？”

解：按5分硬币的个数分21类计数；

假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；

假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个或2个，既有3种不同的凑法；

假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个2个3个4个或5个，既有6种不同的凑法；

…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：

1+3+6+8+11+13+16+18+21+……+48+51

=5×（1+3+6+8）+4×（10+20+30+40）+51

=90+400+51

=541（种）

点金术：巧用转化法假设法架起已知与未知之间的桥梁。

数论之整数拆分练习18

用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？

分析：用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法是一样的。于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？”

解：按5分硬币的个数分21类计数；

假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；

假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个或2个，既有3种不同的凑法；

假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个2个3个4个或5个，既有6种不同的凑法；

…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：

1+3+6+8+11+13+16+18+21+……+48+51

=5×（1+3+6+8）+4×（10+20+30+40）+51

=90+400+51

=541（种）

点金术：巧用转化法假设法架起已知与未知之间的桥梁。