奇数中的整数有多少个？
无穷个。
奇数中的偶数有多少个？
无穷个。
这样的回答是正确的。
整数与偶数，哪一种数多？
恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了。进一步，恐怕还会有同学告诉我，“偶数的个数等于整数个数的一半”。什么道理呢？那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相同排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。”
整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于部分，整数比偶数多，这不是显而易见、再明白不过的事吗？
你认为这样的回答有道理吗？
16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出过一个著名的悖论，叫做“伽利略悖论”，悖论的内容是：“整数和偶数一样多”。这似乎违背常识。
不过，伽利略所说的，也绝不是没有道理。首先，我们论述的对象都是无穷个，而不是有限个，对于有限个来说，“全体大 于部分”无可争议。从1到10的整数比从1到10的偶数就是多。但是，把这个用到无穷上就要重新考虑了。对于有限来说，说两堆物体数量一样多，只要把各堆 物体数一下，看看两堆物体的数量是否相等就可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。看起来，我们得另想办 法。
据说，居住在非洲的有些部族，数数最多不超过3，但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。办法是，早上开圈放羊 时，让羊一只一只往外出。每出一只羊，牧羊人就拾一块小石头。显然，羊的个数和小石头的个数一样多。傍晚，放牧归来，每进圈一只羊，牧羊人从小石头堆中仍 掉一块石头。如果羊全部进了圈，而小石头一个没剩，说明羊一只也没丢。非洲牧羊人实际上采取了“一对一”的办法，两堆物体只要能建立起这种一对一的关系， 就可以说明两堆物体的数量一样多。
这种办法同样可以用在无穷上，看看要比较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。伽利略在整数与偶数之间建立的对应关系是：
0 1 2 3 4 …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 4 6 8 10 …
按这样的一种关系，给出一个整数，就可以找出一个偶数与之对应，给出的整数不同，与之相对应的偶数也不同；反过来， 对于每一个偶数，都可以找到一个自然数与之对应，偶数不同，所对应的整数也不同，由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系，所以我们说：“整数与偶数 一样多”是正确的。
这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质，对“无穷”却未必成立。
任给一个自然数n，如果n是偶数，则将它除以2；如果n是奇数，则将它乘以3，再加上1，我们称这种作法为对于数n的变换.例如，对于数5，按照上述规则进行一次变换得到。
3×5＋1＝16.
对16施行变换得 16÷2＝8.
将这种变换继续下去，有
8÷2＝4， 4÷2＝2，
2÷2＝1， 1×3＋1＝4，
4÷2＝2， 2÷2＝1，
……
有趣的是，对于数5，按照上面所要求的规则不断变换下去，最终出现形如
4→2→1→4→2→1→……的重复.
还可以以6为例按上述指定规则进行变换，得到
6→3→10→5→16→8
4→2→1→4→2→1→……
再如18，
18→9→28→14→7→22→
11→34→17→52→26→13→
40→20→10→5→16→8→
我们发现在这种指定变换下，无论开始是哪个自然数，最终总得到形如
4→2→1→4→2→1的循环、重复.
遗憾的是我们不能仅凭列举若干自然数，就断定对任何自然数n都具备这种性质。事实上，到目前为止，还没有谁能证明这一点。
在竞赛中我们会遇到一些类似的变换，有时候是对一个数连续进行某种指定变换，有时候是对一组数连续进行某种指定变换。在纷乱多样的变化中，却隐藏着某种规律，而我们解决这些问题的关键，就在于透过表面现象，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。
例1 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：
18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。
直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？
解 如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所 以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。
说明 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。
例2 在图1中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算作一次变换。经过若干次变换后，图1变为图2。问：图2中A格中的数字是几？
解 每次变换都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（如图3）。因为每次变换总是一个黑格与一个白格的数字同时加上或减1，所以所有黑格内的数字 之和与所有白格内数字之和的差保持不变。因为图1的这个差是13，所以图2的这个差也是13。由（A＋12）－12＝13得A＝13。
例3 黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改写成为其它两数之和减1，这样继续下去，最后得到3，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？
解 答案是否定的。
注意到2，2，2按照题设中的方式首先变换为2，2，3，再变换下去必定其中两个为偶数，一个为奇数（数值可以改变，但奇偶性不变）。但3，1997，1999是三个奇数，所以2，2，2永远不会按照所述方式变为3，1997，1999。
想想练练
1.黑板上写着1～15共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。例如，擦掉5和11，要写上15。经过若干次后，黑板上就会剩下一个数，这个数是几？
2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次变换。问最多经过多少次变换，黑板上就会出现2？
3.在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半弧分别二等分，在分点标上相邻两数的平均数3（图 4）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？
4.口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1～101。每次从袋中任意摸出5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样做后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？
奇数中的整数有多少个？
无穷个。
奇数中的偶数有多少个？
无穷个。
这样的回答是正确的。
整数与偶数，哪一种数多？
恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了。进一步，恐怕还会有同学告诉我，“偶数的个数等于整数个数的一半”。什么道理呢？那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相同排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。”
整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于部分，整数比偶数多，这不是显而易见、再明白不过的事吗？
你认为这样的回答有道理吗？
16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出过一个著名的悖论，叫做“伽利略悖论”，悖论的内容是：“整数和偶数一样多”。这似乎违背常识。
不过，伽利略所说的，也绝不是没有道理。首先，我们论述的对象都是无穷个，而不是有限个，对于有限个来说，“全体大 于部分”无可争议。从1到10的整数比从1到10的偶数就是多。但是，把这个用到无穷上就要重新考虑了。对于有限来说，说两堆物体数量一样多，只要把各堆 物体数一下，看看两堆物体的数量是否相等就可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。看起来，我们得另想办 法。
据说，居住在非洲的有些部族，数数最多不超过3，但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。办法是，早上开圈放羊 时，让羊一只一只往外出。每出一只羊，牧羊人就拾一块小石头。显然，羊的个数和小石头的个数一样多。傍晚，放牧归来，每进圈一只羊，牧羊人从小石头堆中仍 掉一块石头。如果羊全部进了圈，而小石头一个没剩，说明羊一只也没丢。非洲牧羊人实际上采取了“一对一”的办法，两堆物体只要能建立起这种一对一的关系， 就可以说明两堆物体的数量一样多。
这种办法同样可以用在无穷上，看看要比较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。伽利略在整数与偶数之间建立的对应关系是：
0 1 2 3 4 …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 4 6 8 10 …
按这样的一种关系，给出一个整数，就可以找出一个偶数与之对应，给出的整数不同，与之相对应的偶数也不同；反过来， 对于每一个偶数，都可以找到一个自然数与之对应，偶数不同，所对应的整数也不同，由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系，所以我们说：“整数与偶数 一样多”是正确的。
这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质，对“无穷”却未必成立。
任给一个自然数n，如果n是偶数，则将它除以2；如果n是奇数，则将它乘以3，再加上1，我们称这种作法为对于数n的变换.例如，对于数5，按照上述规则进行一次变换得到。
3×5＋1＝16.
对16施行变换得 16÷2＝8.
将这种变换继续下去，有
8÷2＝4， 4÷2＝2，
2÷2＝1， 1×3＋1＝4，
4÷2＝2， 2÷2＝1，
……
有趣的是，对于数5，按照上面所要求的规则不断变换下去，最终出现形如
4→2→1→4→2→1→……的重复.
还可以以6为例按上述指定规则进行变换，得到
6→3→10→5→16→8
4→2→1→4→2→1→……
再如18，
18→9→28→14→7→22→
11→34→17→52→26→13→
40→20→10→5→16→8→
我们发现在这种指定变换下，无论开始是哪个自然数，最终总得到形如
4→2→1→4→2→1的循环、重复.
遗憾的是我们不能仅凭列举若干自然数，就断定对任何自然数n都具备这种性质。事实上，到目前为止，还没有谁能证明这一点。
在竞赛中我们会遇到一些类似的变换，有时候是对一个数连续进行某种指定变换，有时候是对一组数连续进行某种指定变换。在纷乱多样的变化中，却隐藏着某种规律，而我们解决这些问题的关键，就在于透过表面现象，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。
例1 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：
18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。
直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？
解 如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所 以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。
说明 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。
例2 在图1中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算作一次变换。经过若干次变换后，图1变为图2。问：图2中A格中的数字是几？
解 每次变换都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（如图3）。因为每次变换总是一个黑格与一个白格的数字同时加上或减1，所以所有黑格内的数字 之和与所有白格内数字之和的差保持不变。因为图1的这个差是13，所以图2的这个差也是13。由（A＋12）－12＝13得A＝13。
例3 黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改写成为其它两数之和减1，这样继续下去，最后得到3，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？
解 答案是否定的。
注意到2，2，2按照题设中的方式首先变换为2，2，3，再变换下去必定其中两个为偶数，一个为奇数（数值可以改变，但奇偶性不变）。但3，1997，1999是三个奇数，所以2，2，2永远不会按照所述方式变为3，1997，1999。
想想练练
1.黑板上写着1～15共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。例如，擦掉5和11，要写上15。经过若干次后，黑板上就会剩下一个数，这个数是几？
2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次变换。问最多经过多少次变换，黑板上就会出现2？
3.在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半弧分别二等分，在分点标上相邻两数的平均数3（图 4）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？
4.口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1～101。每次从袋中任意摸出5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样做后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？