我们在进行竞赛与竞争时,往往要认真分析情况,制定出好的方案,使自己获胜,这种方案就是对策.在小学数学竞赛中,常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题,它所涉及的数学知识都比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.
例1 甲、乙二人轮流报数,必须报不大于6的自然数,把两人报出的数依次加起来,谁报数后加起来的数是2000,谁就获胜.如果甲要取胜,是先报还是后报?报几?以后怎样报?
分析 采用倒推法(倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法).由于每次报的数是1~6的自然数,2000-1=1999,2000-6=1994,甲要获胜,必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994~1999,由于1994-1=1993(或1999-6=1993),因此,甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样,由于1993-1=1992,1993-6=1987,所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987~1992,甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样,由于1986-1=1985,1986-6=1980,所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980~1985,甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979,….
把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列:2000、1993、1986、1979、….观察这一数列,发现这是一等差数列,且公差d=7,这些数被7除都余5.因此这一数列的最后三项为:19、12、5.所以甲要获胜,必须先报,报5.因为12-5=7,所以以后乙报几,甲就报7减几,例如乙报3,甲就接着报4(=7-3).
解: ①甲要获胜必须先报,甲先报5;
②以后,乙报几甲就接着报7减几.
这样甲就能一定获胜.
例2 有1994个球,甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是:甲乙轮流取球,每人每次取1个,2个或3个,取最后一个球的人为失败者.
①甲先取,甲为了取胜,他应采取怎样的策略?
②乙先拿了3个球,甲为了必胜,应当采取怎样的策略?
分析 为了叙述方便,把这1994个球编上号,分别为1~1994号.取球时先取序号小的球,后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜,必须把1994号球留给对方,因此甲在最后一次取球时,必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993(也许他取的球不止一个).为了保证能做到这一点,就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990(=1993-3)~1992(=1993-1).因此,甲在最后第二次取球时,必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点,就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986(=1989-3)~1988(=1989-1).因此,甲在最后第三次取球时,必须使他自己取球中序号最大的一个是1985,….
把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来:1993、1989、1985、….观察这一数列,发现这是一等差数列,公差d=4,且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球,因为a+(4-a)=4,所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数,甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜.
由上面的分析知,甲为了获胜,必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个,甲就应拿5-3=2个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球.
解: ①甲为了获胜,甲应先取1个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球.
②乙先拿了3个球,甲为了必胜,甲应拿2个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球.
例3 甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币,规定每人每次只能放一枚,硬币平放且不能有重叠部分,放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚,使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.
分析 采用“对称”思想.
设想圆桌面只有一枚硬币那么大,当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面,由于圆是中心对称的,甲可以先把硬币放在桌面中心,然后,乙在某个位置放一枚硬币,甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法,只要乙能找到位置放一枚硬币,根据圆的中心对称性,甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的,最后,乙找不到放硬币的地方,于是甲获胜.
解: (略).
例4 把一棋子放在如右图左下角格内,双方轮流移动棋子(只能向右、向上或向右上移),一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格,夺取红旗,谁就获胜.问应如何取胜?
分析 采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移,要把棋子走进顶格,应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中,为了保证能做到这一点,倒数第二次应让棋子走进右图中的A格中.(对方从A格出发,只能向右或向上移至最后一列的格中)所以要获胜,应先占据A格.同理可知,每次都占据A~E这五个格中的某一格的人一定获胜.
解: 为保证取胜,应先走.首先把棋子走进E格,然后,不管对方走至哪一格,(肯定不会走进A~D格),先走者可以选择适当的方法一步走进A~D格中的某一格.如此继续,直至对方把棋子走进最后一列的某个格中,此时先走者一步即可走进顶格,夺取红旗,从而获胜.
例5 白纸上画了m×n的方格棋盘(m,n是自然数),甲、乙两人玩画格游戏,他们每人拿一枝笔,先画者任选一格,用笔在该格中心处画上一个点,后画者在与这个格相邻(有一条公共边的两个格叫相邻的格)的一个格的中心处也画上一个点,先画者再在与这个新画了点的格相邻的格的中心画上一个点,后画者接着在相邻的格中再任选一格画上一个点,…,如此反复画下去,谁无法画时谁失败.问:先画者还是后画者有必胜策略?他的必胜策略是什么?(注:已画过点的格子不准再画.)
分析 m,n是自然数,不定,不妨选几个小棋盘来试试,以便从中找出规律.
1×1棋盘,先画者胜.
1×2棋盘,后画者胜.
2×2棋盘,后画者胜.
2×3棋盘,后画者胜.后画者的策略如下:2×3棋盘,总可以事先分割成3个1×2的小棋盘.后画者采用“跟踪”的方法:先画者在某个1×2的小盘中某个格内画了点,后画者就在同一个1×2小盘中的另一格画点;先画者只得去寻找另外的1×2的小盘,后画者“跟踪”过去;直至先画者找不到新的1×2小盘,这时,先画者就失败.
由2×3棋盘的分析过程知:m,n中至少有一个为偶数时,m×n棋盘总可以事先分成一些1×2或2×1的小棋盘,利用上面所说的“跟踪”法,后画者有必胜策略.
若m,n都是奇数,先画者事先把m×n棋盘划分成一些1×2小棋盘后,还剩一个小格.这时,先画者可以先在这个剩下的小格中画点,之后,先画者用“跟踪”法,就归结为m、n至少有一个为偶数的情形,先画者有必胜策略.
综上所述,当m、n中至少有一个为偶数时,后画者有必胜策略;当m、n都为奇数时,先画者有必胜策略.
解: (略).
例6 现有9根火柴,甲、乙两人轮流从中取1根、2根或3根,直到取完为止.最后数一数各人所得火柴总数,得数为偶数者胜.问先拿的人是否能取胜?应怎样安排策略?
分析 我们从最简单的情况开始进行考虑.
由于9是奇数,它分成两个自然数的和时,必然一个是奇数,一个是偶数,所以两人中必然一胜一负.由于偶数分成两个自然数的和时,必然同奇或同偶,故无论如何取,都只能平局.因此我们只对火柴总数为奇数的情况加以讨论.
1.如果有1根火柴,那么先取的人必败,后取的人必胜.
2.如果有3根火柴,先取的人可以取2根,后取的人只能取1根,那么先取的人必胜,后取的人必败.
3.如果有5根火柴,不妨设为甲先拿.
甲先拿1根:
①乙拿1根,还剩3根,甲取3根.甲的火柴总数为:1+3=4(根),乙的火柴总数为1根,因此甲胜.
②乙拿2根,还剩2根,甲取1根,乙取1根.甲的火柴总数为:1+1=2(根),乙的火柴总数为:2+1=3(根),因此甲取胜.
③乙拿3根,还剩1根,甲取1根.甲的火柴总数为:1+1=2(根),乙的火柴总数为3根,因此甲胜.
因此,如果有5根火柴,先拿的人有必胜的策略.
4.下面讨论7根火柴的情形.
甲先取了3根:
还剩4根,同前面3①~③分析可知甲必胜。
因此,有7根火柴时,先取的人有必胜的策略.
5.最后讨论9根火柴的情形.
①甲先取1根,乙取3根,还剩5根.
(a)甲取1根,还剩4根,乙取3根,甲取1根,乙胜.
(b)甲取2根,还剩3根,乙取3根,乙胜.
(c)甲取3根,还剩2根,乙取1根,甲取1根,乙胜.
因此,在甲先取1根的情况下,(乙接着取3根)乙有必胜的策略.
②甲取2根时,还剩7根,这时乙面临7根的情形,乙取3根,不论以后甲怎样取,乙都有必胜的策略.
③甲取3根时,还剩6根;乙取1根,还剩5根.
(a)甲取1根,还剩4根,乙取3根,甲取1根,乙胜.
(b)甲取2根,还剩3根,乙取3根,乙胜.
(c)甲取3根,还剩2根,乙取1根,甲取1根,乙胜.
因此在甲先取3根的情况下,乙只要取1根,不论以后甲怎样取,乙都有必胜的策略.
综上所述,先取的人没有必胜的策略,后取的人有必胜的策略.
解: (略).
我们在进行竞赛与竞争时,往往要认真分析情况,制定出好的方案,使自己获胜,这种方案就是对策.在小学数学竞赛中,常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题,它所涉及的数学知识都比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.
例1 甲、乙二人轮流报数,必须报不大于6的自然数,把两人报出的数依次加起来,谁报数后加起来的数是2000,谁就获胜.如果甲要取胜,是先报还是后报?报几?以后怎样报?
分析 采用倒推法(倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法).由于每次报的数是1~6的自然数,2000-1=1999,2000-6=1994,甲要获胜,必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994~1999,由于1994-1=1993(或1999-6=1993),因此,甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样,由于1993-1=1992,1993-6=1987,所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987~1992,甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样,由于1986-1=1985,1986-6=1980,所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980~1985,甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979,….
把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列:2000、1993、1986、1979、….观察这一数列,发现这是一等差数列,且公差d=7,这些数被7除都余5.因此这一数列的最后三项为:19、12、5.所以甲要获胜,必须先报,报5.因为12-5=7,所以以后乙报几,甲就报7减几,例如乙报3,甲就接着报4(=7-3).
解: ①甲要获胜必须先报,甲先报5;
②以后,乙报几甲就接着报7减几.
这样甲就能一定获胜.
例2 有1994个球,甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是:甲乙轮流取球,每人每次取1个,2个或3个,取最后一个球的人为失败者.
①甲先取,甲为了取胜,他应采取怎样的策略?
②乙先拿了3个球,甲为了必胜,应当采取怎样的策略?
分析 为了叙述方便,把这1994个球编上号,分别为1~1994号.取球时先取序号小的球,后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜,必须把1994号球留给对方,因此甲在最后一次取球时,必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993(也许他取的球不止一个).为了保证能做到这一点,就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990(=1993-3)~1992(=1993-1).因此,甲在最后第二次取球时,必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点,就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986(=1989-3)~1988(=1989-1).因此,甲在最后第三次取球时,必须使他自己取球中序号最大的一个是1985,….
把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来:1993、1989、1985、….观察这一数列,发现这是一等差数列,公差d=4,且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球,因为a+(4-a)=4,所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数,甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜.
由上面的分析知,甲为了获胜,必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个,甲就应拿5-3=2个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球.
解: ①甲为了获胜,甲应先取1个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球.
②乙先拿了3个球,甲为了必胜,甲应拿2个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球.
例3 甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币,规定每人每次只能放一枚,硬币平放且不能有重叠部分,放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚,使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.
分析 采用“对称”思想.
设想圆桌面只有一枚硬币那么大,当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面,由于圆是中心对称的,甲可以先把硬币放在桌面中心,然后,乙在某个位置放一枚硬币,甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法,只要乙能找到位置放一枚硬币,根据圆的中心对称性,甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的,最后,乙找不到放硬币的地方,于是甲获胜.
解: (略).
例4 把一棋子放在如右图左下角格内,双方轮流移动棋子(只能向右、向上或向右上移),一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格,夺取红旗,谁就获胜.问应如何取胜?
分析 采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移,要把棋子走进顶格,应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中,为了保证能做到这一点,倒数第二次应让棋子走进右图中的A格中.(对方从A格出发,只能向右或向上移至最后一列的格中)所以要获胜,应先占据A格.同理可知,每次都占据A~E这五个格中的某一格的人一定获胜.
解: 为保证取胜,应先走.首先把棋子走进E格,然后,不管对方走至哪一格,(肯定不会走进A~D格),先走者可以选择适当的方法一步走进A~D格中的某一格.如此继续,直至对方把棋子走进最后一列的某个格中,此时先走者一步即可走进顶格,夺取红旗,从而获胜.
例5 白纸上画了m×n的方格棋盘(m,n是自然数),甲、乙两人玩画格游戏,他们每人拿一枝笔,先画者任选一格,用笔在该格中心处画上一个点,后画者在与这个格相邻(有一条公共边的两个格叫相邻的格)的一个格的中心处也画上一个点,先画者再在与这个新画了点的格相邻的格的中心画上一个点,后画者接着在相邻的格中再任选一格画上一个点,…,如此反复画下去,谁无法画时谁失败.问:先画者还是后画者有必胜策略?他的必胜策略是什么?(注:已画过点的格子不准再画.)
分析 m,n是自然数,不定,不妨选几个小棋盘来试试,以便从中找出规律.
1×1棋盘,先画者胜.
1×2棋盘,后画者胜.
2×2棋盘,后画者胜.
2×3棋盘,后画者胜.后画者的策略如下:2×3棋盘,总可以事先分割成3个1×2的小棋盘.后画者采用“跟踪”的方法:先画者在某个1×2的小盘中某个格内画了点,后画者就在同一个1×2小盘中的另一格画点;先画者只得去寻找另外的1×2的小盘,后画者“跟踪”过去;直至先画者找不到新的1×2小盘,这时,先画者就失败.
由2×3棋盘的分析过程知:m,n中至少有一个为偶数时,m×n棋盘总可以事先分成一些1×2或2×1的小棋盘,利用上面所说的“跟踪”法,后画者有必胜策略.
若m,n都是奇数,先画者事先把m×n棋盘划分成一些1×2小棋盘后,还剩一个小格.这时,先画者可以先在这个剩下的小格中画点,之后,先画者用“跟踪”法,就归结为m、n至少有一个为偶数的情形,先画者有必胜策略.
综上所述,当m、n中至少有一个为偶数时,后画者有必胜策略;当m、n都为奇数时,先画者有必胜策略.
解: (略).
例6 现有9根火柴,甲、乙两人轮流从中取1根、2根或3根,直到取完为止.最后数一数各人所得火柴总数,得数为偶数者胜.问先拿的人是否能取胜?应怎样安排策略?
分析 我们从最简单的情况开始进行考虑.
由于9是奇数,它分成两个自然数的和时,必然一个是奇数,一个是偶数,所以两人中必然一胜一负.由于偶数分成两个自然数的和时,必然同奇或同偶,故无论如何取,都只能平局.因此我们只对火柴总数为奇数的情况加以讨论.
1.如果有1根火柴,那么先取的人必败,后取的人必胜.
2.如果有3根火柴,先取的人可以取2根,后取的人只能取1根,那么先取的人必胜,后取的人必败.
3.如果有5根火柴,不妨设为甲先拿.
甲先拿1根:
①乙拿1根,还剩3根,甲取3根.甲的火柴总数为:1+3=4(根),乙的火柴总数为1根,因此甲胜.
②乙拿2根,还剩2根,甲取1根,乙取1根.甲的火柴总数为:1+1=2(根),乙的火柴总数为:2+1=3(根),因此甲取胜.
③乙拿3根,还剩1根,甲取1根.甲的火柴总数为:1+1=2(根),乙的火柴总数为3根,因此甲胜.
因此,如果有5根火柴,先拿的人有必胜的策略.
4.下面讨论7根火柴的情形.
甲先取了3根:
还剩4根,同前面3①~③分析可知甲必胜。
因此,有7根火柴时,先取的人有必胜的策略.
5.最后讨论9根火柴的情形.
①甲先取1根,乙取3根,还剩5根.
(a)甲取1根,还剩4根,乙取3根,甲取1根,乙胜.
(b)甲取2根,还剩3根,乙取3根,乙胜.
(c)甲取3根,还剩2根,乙取1根,甲取1根,乙胜.
因此,在甲先取1根的情况下,(乙接着取3根)乙有必胜的策略.
②甲取2根时,还剩7根,这时乙面临7根的情形,乙取3根,不论以后甲怎样取,乙都有必胜的策略.
③甲取3根时,还剩6根;乙取1根,还剩5根.
(a)甲取1根,还剩4根,乙取3根,甲取1根,乙胜.
(b)甲取2根,还剩3根,乙取3根,乙胜.
(c)甲取3根,还剩2根,乙取1根,甲取1根,乙胜.
因此在甲先取3根的情况下,乙只要取1根,不论以后甲怎样取,乙都有必胜的策略.
综上所述,先取的人没有必胜的策略,后取的人有必胜的策略.
解: (略).